Vectores y combinaciones lineales
Los vectores son las unidades elementales del Álgebra Lineal, entidades matemáticas que se definen por operaciones fundamentales de suma y producto por un escalar.
1.1 – ¿Qué es el Álgebra Lineal?
Nos resulta profundamente intuitivo hablar de nuestros pensamientos como si estuvieran distribuidos por el espacio: podemos hablar de cercanía de ideas, de un argumento que discurre por un camino determinado o que un razonamiento nos aleja de una certeza. Esa inclinación casi natural a imaginar el pensamiento como un deambular en el espacio encuentra en el álgebra una forma de hacerse rigurosa. El álgebra permite levantar paisajes abstractos en los que viven entidades complejas como significados o decisiones, no ya como sombras difusas de la mente, sino como habitantes de un territorio que puede describirse, medirse y recorrerse.
Esta idea está en el corazón mismo de la IA contemporánea. Gran parte de lo que hoy llamamos Inteligencia Artificial consiste precisamente en aprender a colocar entidades complejas dentro de espacios donde la cercanía tenga sentido, donde la distancia exprese similitud o diferencia, donde ciertas direcciones correspondan a cambios interpretables y donde incluso puedan trazarse rutas de transformación entre unas representaciones y otras.
En ese territorio aparece el Álgebra Lineal, no solo como una rama de las matemáticas, sino como un modo de dar estructura a aquello que no tiene forma física. Un vector no es solo una flecha dibujada en un plano, sino que puede convertirse en la huella numérica de una palabra, una persona, una película o un rostro, ocupando una posición en un espacio abstracto cuyas dimensiones ya no son el ancho, alto o profundidad a las que nos tiene acostumbrado el espacio tridimensional.
Por eso, introducirse en el Álgebra Lineal no es solo aprender operaciones con matrices y vectores, es aprender a mirar el conocimiento como un paisaje. Comenzaremos este viaje desde la idea más básica de la que nace el álgebra: el concepto de vector.
1.2 – ¿Qué es un vector?
Desde cierto punta de vista, un vector no es otra cosa que una lista ordenada de números. Esa generalidad hace del Álgebra Lineal una disciplina ubicua, común a campos como ingenierías, economía o incluso ciencias sociales. Originalmente destinados a representar movimiento y y desplazamientos por el espacio, en la actualidad, con el auge de la Ciencia de Datos, los vectores se utilizan para representar muchos otros tipos de información.
Toda entidad que pueda representarse con dos o más números es susceptible de tratarse como un vector. Cada número dentro del vector se conoce como componente. Por ejemplo \( \left( 15, 167 \right) \) sería un vector de dos componentes, el primero podría representar edad y el segundo altura de una persona específica. En esta serie saltaremos muchas veces desde una notación horizontal de los vectores a una vertical. El caso anterior aparecería verticalmente como \( \begin{bmatrix} 15 \\ 167 \end{bmatrix} \). Siguiendo la primera de las notaciones, de forma general un vector de dos componentes lo describimos como:
$$ \mathbf{v} = \left( v_1, v_2 \right)$$
Dependiendo del ámbito de aplicación, puede ser común tratar con vectores de más de dos o tres componentes, aunque eso nos obligue a abandonar nuestra intuición espacial. Aquí mostramos la notación general:
$$ \mathbf{v} = \left( v_1, v_2, \cdots v_n\right)$$
para un vector de \( n \) componentes.
Esta forma de pensar en los vectores como listas numéricas es todavía solo una aproximación. El concepto es en realidad más general: lo que realmente caracteriza a los vectores no es solo su forma, sino las operaciones que podemos hacer con ellos. En las próximas secciones veremos que los vectores se pueden sumar y también multiplicar por números. A partir de estas dos operaciones simples emerge toda la estructura del Álgebra Lineal.
Este plano representa un espacio cartesiano de dos dimensiones o ejes. En Ciencia de Datos por ejemplo, los vectores nos permiten describir hechos numéricos. Utilizando un ejemplo deliberadamente lejos de desplazamientos por el plano, podemos entender este vector como una representación de una transacción en el mercado de petróleo. El volumen aparece representado en el eje horizontal, mientras que el precio (supongamos que en dólares) lo está en el vertical. Un barril de petróleo equivale aproximadamente a 159 litros. Si desplazamos el vector hacia arriba, manteniendo la posición horizontal, conseguiremos representar diferentes precios de un mismo volumen. Movimientos en el eje horizontal se interpretarían como transacciones de mayor o menor volumen.
1.3 – Suma de vectores
La más elemental de estas operaciones es la suma de vectores. Se obtiene sumando componente a componente:
$$ \mathbf{v} = \left( v_1, v_2 \right)$$
$$ \mathbf{u} = \left( u_1, u_2 \right)$$
$$ \mathbf{v} + \mathbf{u} = \left( v_1 + u_1, v_2 + u_2 \right)$$
Si interpretamos los vectores como desplazamientos, la suma de vectores equivale a la combinación de esos dos desplazamientos: el vector suma representa el desplazamiento total.
Comúnmente la suma de vectores se describe con la regla del paralelogramo, una herramienta visual para entender esa suma. El paralelogramo se forma proyectando cada vector desde el extremo del vector contrario. La diagonal que sale del origen hasta el vértice opuesto es justamente el vector suma \( \mathbf{v} + \mathbf{u} \).
En muchos casos, representaremos los vectores como ‘flechas’ que surgen del origen del plano. La regla del paralelogramo es fácilmente comprendida usando esta representación. Pero el lector debe constatar que esto es solo una de las formas de visualizar el concepto de vector, que puede muy bien ser igualmente concebido como simples puntos en el plano. Igualmente, siempre se necesitará un origen como punto de referencia.
Sigamos con la interpretación de la sección anterior. El precio del barril de petróleo no es igual en todos los mercados del mundo (Brent, WTI, etc…). Dos vectores con distintas pendientes representarían diferentes precios del mercado. Aun así, podemos sumar ambos para calcular el total que suman ambas transacciones en volumen y precio.
1.4 – Producto por un escalar
El producto por un escalar consiste en multiplicar un vector por un número real.
$$ a\mathbf{v} = \left( av_1, av_2 \right)$$
Aquí ya no estaríamos conjugando dos desplazamientos como en el caso de la suma, sino extendiendo o ‘escalando’ un mismo desplazamiento. Todos los vectores múltiplos o escalares a uno dado comparten una misma dirección, que puede visualizarse como la línea que puede extenderse indefinidamente a ambos lados del vector.
Valores de \(a\) positivos efectivamente alargan el vector, valores negativos además invierten su sentido, pero manteniendo siempre la misma dirección. Valores de \(a\) entre \(0\) y \(1\) en cambio lo acortan y multiplicar por \(0\) devuelve el vector nulo situado en el origen.
Recuerde el lector que estas operaciones de suma y multiplicación por un escalar no están limitadas al rango de vectores de dos o tres componentes. Los vectores son mucho más que herramientas conceptuales que usamos para describir desplazamientos en el espacio tridimensional al que estamos acostumbrados.
Escalar un vector nos permite representar transacciones dentro de un mismo mercado, es decir, manteniendo la misma relación precio-volumen. Ambas dimensiones crecen ahora proporcionalmente. El escalado no modifica la pendiente del vector, por lo que la dirección es siempre la misma.
1.5 – Combinación lineal
Ya asentadas las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar, podemos combinarlas en lo que se conoce como combinación lineal, el que sea el concepto más importante de este capítulo, y quizás de todo el Álgebra Lineal. La combinación lineal de vectores no es otra cosa que la suma de dos o más vectores, cada uno de ellos escalados por un número real. El resultado es otro vector:
$$ \mathbf{p} = a\mathbf{v} + b\mathbf{u}$$
La combinación lineal es la operación que nos permite saltar a un nuevo concepto fundamental. Y es que si hablamos de posiciones y desplazamientos, es porque hemos presupuesto un espacio en el que estos conceptos tienen sentido. Los vectores presuponen un espacio que ‘habitan’ y pueden ‘recorrer’. La combinación lineal nos permite formular de manera más precisa este concepto de espacio. Lo definimos como el conjunto de todas las combinaciones lineales posibles de ciertos vectores constituye el espacio que esos vectores generan. Dicho de otro modo, a partir de unos pocos vectores podemos describir todas las posiciones a las que es posible llegar combinándolos mediante sumas y productos por escalares.
Pongamos por ejemplo los vectores \( \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \) y \( \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \). Cualquier par de vectores que habitan el espacio bidimensional \( \mathbb{R}^2 \) puede ser descrito a partir de estos dos como una cierta combinación lineal, simplemente cambiando los valores de los escalares \( a \) y \( b \).
$$ \mathbf{p}= a\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + b\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$
Por ejemplo, el punto del plano \( \begin{bmatrix} 7 \\ 9 \end{bmatrix} \) sería
$$\begin{bmatrix} 7 \\ 9 \end{bmatrix}= 7\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + 9\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$
Generar un espacio equivale a disponer de los vectores necesarios para recorrerlo enteramente y describir cualquier posición dentro de él.
Cualquier transacción puede ser ahora representada como la combinación lineal de dos vectores. Los escalares en la animación están restringidos. Pero si aceptásemos cualquier número real, comprobaríamos que cualquier punto del espacio es accesible con dos vectores.
Esto último es solo parcialmente cierto. Si superponemos uno de los vectores fuente sobre otro, de manera que su dirección sea la misma, podemos observar que los posibles resultados de su combinación lineal están vetados a dicha dirección en el plano. Por mucho que escalemos cualquiera de ellos, nunca lograremos escapar de esa línea, haciendo inaccesible el resto del plano bidimensional. Para que dos vectores combinados linealmente nos permitan alcanzar la totalidad del plano bidimensional debe entre ellos cumplirse una propiedad: la independencia.
1.6 – Independencia lineal
En el plano bidimensional \( \mathbb{R}^2 \) dos vectores no siempre generan la totalidad del plano. Existen dos casos en los que esto no sea posible. El primero es que uno de los vectores sea el vector nulo, de componentes \( 0 \), el cual no aporta ninguna dirección nueva. El otro caso es si uno de los vectores es un múltiplo escalar del otro. Esta sería la situación en la que los vectores estarían superpuestos en la misma dirección. Al no aportar una segunda dirección, el plano bidimensional se volvería inaccesible. Aunque sigamos teniendo vectores con dos componentes, el espacio que generan no es bidimensional, sino una recta.
Conviene por tanto distinguir los componentes de un vector de las dimensiones del espacio que genera cuando se combina con otros vectores. Esas dimensiones depende del número de direcciones que esos vectores generan. De la misma manera que para desplazarnos por una hoja de papel plana necesitamos no solo ir de izquierda a derecha sino de arriba a abajo, para generar el plano bidimensional se requieren dos direcciones distintas.
Dos vectores aportan direcciones distintas mientras entre ellos exista independencia lineal. Decimos que un conjunto de vectores es linealmente independiente cuando ninguno de ellos resulta de una combinación lineal de los otros. Cuando hablamos de solo dos vectores, esto se simplifica a que ninguno de ellos sea múltiplo escalar del otro.
A partir de ahora utilizaremos una notación vertical que nos resultará útil para representar combinaciones lineales. Un ejemplo de dos vectores dependientes sería:
dado que son múltiplos:
Dos vectores independientes podrían ser:
puesto que no existe un valor que escale uno en otro.
En el caso de tres vectores, estos serían dependientes entre sí si uno de ellos es combinación lineal de los otros dos. Como es por ejemplo:
dado que:
Dado que uno de los vectores es linealmente dependiente, este conjunto solo genera un espacio bidimensional, a pesar de tener tres componentes.
Aunque la visualización tridimensional es algo más compleja, la mostramos aquí para ejemplificar que estas propiedades se cumplen independientemente de la dimensionalidad del plano. Los botones de arriba, permiten elegir diferentes conjuntos de vectores con distinto número de vectores independientes.
Con tres vectores linealmente independientes, el espacio generado por su combinación lineal abarca todos los puntos del espacio tridimensional. Con solo dos vectores independientes, uno de los vectores es combinación lineal de los otros sin que aporte una dirección nueva (específicamente \( \mathbf{w} = \mathbf{u} + \mathbf{v} \)), por lo que la combinación de los tres tan solo podría generar un espacio bidimensional. El vector tuquesa no podría escapar del plano. Un solo vector independiente, por su parte, solo genera una recta, es decir, un espacio unidimensional.
Podemos notar como, aun con los tres vectores independientes, si uno de los vectores del conjunto es el vector nulo, lo cual se consigue escalando por \( 0 \), entonces el conjunto es automáticamente linealmente dependiente, y podréis ver como el espacio generado se limita de nuevo al espacio bidimensional.
1.7 – Bases
El concepto de base no deja de ser una consecuencia obvia de las ideas introducidas previamente. Si acaso sería el resultado de aplicar sobre ellos un cierto minimalismo. Y es que hemos visto que el espacio bidimensional puede describirse con dos vectores, pero también con tres, cuatro, etc… Llamamos base de un espacio a todo conjunto con el número mínimo de vectores para generar ese espacio. Dicho de otra forma, cualquier conjunto de \( n \) vectores linealmente independientes es la base del espacio \( n \)-dimensional. Dos vectores forman una base del plano 2D siempre que sean linealmente independientes. Más vectores también podrían generar un espacio bidimensional, pero ya no serían una base, dado que existiría algún vector linealmente dependiente y por tanto incluirían direcciones redundantes.
Para cada espacio \( n \)-dimensional existen infinitas posibles bases, pero hay un caso especial y es el de bases canónicas. Son únicas de cada espacio y en ellas cada vector tiene un componente en \( 1 \) para cada una de las direcciones. Para el espacio 2D serían:
y para 3D
Los vectores sólidos muestran la base del plano, por defecto la base canónica. Manteniendo las bases estáticas y escalando los valores, es fácil comprobar como cualquier vector o punto de dicho plano es una combinación lineal de dichos vectores base. Y esta es la idea fundamental de las bases, son los cimientos de cualquier otro vector de un espacio.
Un detalle a destacar es que un mismo punto del espacio puedes ser alcanzando utilizando diferentes bases. Esto adelante la idea que exploraremos más adelante de cambios de base.
