Matrices y sistemas de ecuaciones

2.1 – Matrices como transformaciones

Si los vectores nos permitían imaginar conceptos abstractos como puntos dentro de un espacio abstracto, las matrices nos invitan a dar un paso más: ya no se trata solo de representar dónde está algo, sino de comprender cómo cambia o mejor dicho, como se llega de un punto a otro. Una matriz puede verse como una regla de transformación, una máquina silenciosa que toma una representación y la convierte en otra. Allí donde un vector describe una posición, una matriz describe un movimiento posible.

Esta idea es fundamental para entender buena parte de la Inteligencia Artificial moderna. Cuando una red neuronal procesa una imagen, una frase o una señal, no trabaja con esos objetos de forma directa, sino con representaciones vectoriales, las cuales van atravesando sucesivas transformaciones modeladas cada una de ellas por una matriz. Cada capa modifica el modo en que la información está organizada: mezcla unas dimensiones con otras, amplifica ciertos rasgos, atenúa otros y construye poco a poco una nueva forma de mirar los datos. En este sentido, una matriz no es simplemente una tabla de números. Es una forma compacta de describir cómo fluye la información entre componentes. Cada entrada de la matriz indica cuánto influye una dimensión sobre otra o cómo una estructura inicial puede deformarse hasta revelar patrones que antes permanecían ocultos.

En este capítulo nos centraremos en la idea de matriz como filtro transformador. Pero una matriz es también una forma de organizar información manera natural en muchos contextos. Una imagen digital puede representarse como una matriz donde cada número indica la intensidad luminosa de un píxel. Una tabla de datos puede verse como una matriz en la que cada fila describe un ejemplo y cada columna una característica. El concepto matemático en ambos casos es el mismo, tan solo cambia la perspectiva y el uso que de él se podemos hacer.

2.2 – Multiplicar una matriz por un vector

Aunque de forma disimulada, ya hemos introducido las matrices y las transformaciones en el capítulo anterior cuando hablamos del concepto de base. Recordemos que todo vector puede expresarse como combinación lineal de los vectores de una base. Estos vectores de la base son independientes entre sí, y por tanto, generan direcciones distintas. Para el espacio bidimensional, podemos mostrar las bases como una matriz de \( 2 \times 2 \), siendo cada dirección una columna diferente. La base canónica sería:

A partir de estos vectores base, entendemos cualquier combinación lineal como instrucciones, por ejemplo escalar la dirección horizontal dos veces y la vertical tres. Estas instrucciones las codificamos como un determinado vector, representando la combinación lineal como la multiplicación de una matriz por un vector:

Este ejemplo es simple pero… ¿Qué pasa si transformamos los vectores de la base? Las instrucciones anteriores codificadas en el vector (dos veces a la derecha, tres hacia arriba) aplican igualmente pero el resultado es diferente sobre una matriz distinta.

Con esta base distinta cualquier vector apuntará ahora a un lugar diferente, por lo que podemos generalizar a que todo el espacio por completo se deforma. Podemos entender las matrices como transformaciones en tanto que describen cómo se desplazan los vectores que definen una base. Para espacios de más de dos dimensiones, las matrices no serán ya de \( 2 \times 2 \), sino, \( 3 \times 3 \), \( 4 \times 4 \), etc…

La animación comienza con unos vectores base canónicos. La matriz superior izquierda permite transformar esa base y con ella la totalidad del plano. En la fórmula inferior se muestra la multiplicación de la matriz de transformación de la base por el vector que libremente puedes situar en el plano. La cuadrícula de fondo se modifica dado que la transformación no solo afecta al vector turquesa, sino a cualquier otro vector del plano o, en otras palabras, al espacio mismo.

2.3 – Matrices no cuadradas

Una matriz, en principio, no es más que una tabla de números, dispuestos de forma ordenada en columnas y filas. Sin embargo, esa apariencia sencilla oculta una herramienta matemática extremadamente útil que iremos descubriendo a lo largo de este capítulo.

Las matrices nos ayudan a representar bases pero van mucho más allá. No estamos restringido a que el número de filas y de columnas coincida, es decir, a que la matriz sea cuadrada. Aquí un ejemplo de un matriz de dimensión \( 3 \times 2 \), es decir, dos filas y tres columnas.

Como adelantamos en la sección previa, la multiplicación de la matriz por un vector no deja de ser la combinación lineal de los vectores columna.

Como es obvio, para que esta operación sea posible el número de columnas de la matriz debe coincidir con el número de componentes del vector. Es por ello que no cualquier matriz puede multiplicarse por cualquier vector. Las columnas de una matriz indican el número de componentes de los vectores que pueden transformar. El número de filas indica el número de componentes del vector de salida.

En ultimo término esto significa que podemos generalizar las conclusiones del apartado anterior: una matriz puede transformar un espacio en otro, incluso de distinta dimensión. Siguiendo el ejemplo anterior con una matriz de \( 3 \times 2 \) podemos decir que:

$$A: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$$

o lo que es lo mismo, los vector del plano son proyectados en el espacio 3D.

2.4 – Transformaciones lineales

Una vez entendida la matriz como una forma de transformar el espacio, conviene precisar qué tipo de transformaciones estamos describiendo. Las matrices representan un caso muy especial de transformación: las transformaciones lineales. Estas pueden deformar el plano de muchas maneras distintas: estirarlo, comprimirlo, rotarlo, inclinarlo o incluso aplastarlo sobre una recta. Sin embargo, no pueden hacerlo de cualquier forma.

Una transformación lineal respeta la estructura básica del espacio. Esto significa que si un vector se construye como combinación de otros, su transformación se construirá combinando del mismo modo los vectores transformados. Si antes un vector era el resultado de avanzar dos veces en una dirección y tres veces en otra, después de aplicar la transformación seguirá siendo el resultado de tomar dos veces la nueva primera dirección y tres veces la nueva segunda dirección. Por eso las matrices son tan útiles: no necesitan indicar qué ocurre con cada punto del plano uno por uno. Basta con saber qué ocurre con los vectores de la base. A partir de ahí, el destino de cualquier otro vector queda determinado automáticamente.

Geométricamente, una transformación lineal mantiene el origen fijo y convierte la retícula del plano en otra retícula deformada, pero ordenada. Las líneas rectas siguen siendo rectas y las relaciones de combinación entre vectores se conservan. La matriz puede cambiar la forma del espacio, pero no rompe su lógica interna.

En esta animación puedes probar a aplicar las transformaciones lineales básicas: la matriz de identidad (que no tiene ningún efecto transformativo), rotaciones en ambas direcciones, reflexiones e inclinaciones (shear).

2.5 – Multiplicación de matrices

Multiplicar matrices significa encadenar transformaciones. Si una matriz \( A\) transforma el espacio de una cierta manera y otra matriz \( B\) aplica después una segunda transformación, el efecto conjunto puede describirse mediante una única matriz. La composición completa queda condensada en el producto matricial \( BA\) (la transformación subsecuente va a la izquierda).

$$ B(A\mathbf{v}) = BA\mathbf{v}$$

Rotar una figura y después reflejarla no produce el mismo resultado que reflejarla primero y rotarla después. Las matrices no se comportan como los números ordinarios. En general

$$ BA \neq AB $$

y esa diferencia encierra una enorme riqueza geométrica. Cada multiplicación representa una secuencia concreta de acciones sobre el espacio.

Como ya hemos visto en el caso de multiplicar una matriz por un vector, no todas las matrices pueden multiplicarse entre sí. Componer matrices es como encajar tuberías: la salida de la primera transformación debe tener exactamente la forma que espera la entrada de la segunda. Para un producto \( AB\) la matriz \( B\) debe contener el mismo número de filas que columnas tenga \( A\). El resultado es una matriz con el mismo número de filas que la primera y el mismo número de columnas que la segunda.

2.6 – Determinante de la matriz

Como ya hemos apuntado previamente, las transformaciones matriciales no solo cambian la posición de un vector, sino que modifican el espacio mismo. El determinante de una matriz es un valor que mide cuánto espacio se extiende o se contrae en la transformación. El cálculo del determinante es sencillo para el caso del plano, pero se hace más complejo para mayores dimensiones. No nos detendremos en la mecánica para el cálculo del determinante, tan solo en el concepto.

Un matriz cuyo determinante sea \( 1\) significa que la transformación no ha estirado ni comprimido el espacio. Este sería el caso por ejemplo de una matriz de rotación. Determinantes mayores de \( 1\) implicarían que la matriz ha extendido la superficie original. Valores en negativo indicarían un reflexión del espacio, algo así como su imagen especular. Esto implica que el valor del determinante no solo se relaciona con el volumen, sino con su orientación.

Existe un caso en el que habrá que detenerse y es cuando el determinante vale \( 0\). Esto implica que el área ha desaparecido por completo y la matriz ha colapsado una de las direcciones: la transformación ha convertido a uno de los vectores en combinación lineal del resto. Esto ocurre cuando existe dependencia lineal entre las columnas/filas de la matriz.

Es importante hacer notar que las matrices no cuadradas no tienen determinante. Esto es así porque no hay forma de comparar volúmenes cuando estos no tienen la misma dimensionalidad.

Aquí visualizamos el paralelogramo que conforman los vectores de las base como el espacio transformado, aunque como ya hemos comentado respecto a las matrices, realmente la transformación aplicaría a cualquier superficie del plano (o un volumen en espacios de mayores dimensiones).

Es posible comprobar que aplicar una matriz de rotación, como \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix} el área se desplaza para el determinante es el mismo. Si en vez de una rotación, aplicamos una reflexión sobre el eje \( x \) \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix} observaremos que el valor del signo del determinante cambia. Si probamos con una matriz con columnas no linealmente independientes, como \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 6\end{bmatrix}, veremos que una de las direcciones se superpone a otra, colapsando una de las dimensiones y resultando en un determinante nulo.

2.7 – Espacio imagen y rango

Hemos dicho secciones atrás que el número de filas de una matriz determina el número de componentes del vector de salida. Pero esto no significa que el espacio de salida tenga la misma dimensión que el número de componentes de los vectores. Por ejemplo, estos tres vectores tienen tres componentes:

$$ \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} \; \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} \; \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 6 \end{bmatrix}$$

Sin embargo, los tres ‘viven’ en un mismo plano bidimensional. Lo sabemos porque el vector de la derecha es la suma de los vectores a su izquierda. Es decir no son linealmente independientes. Sin los juntásemos en una matriz, su determinante sería \( 0\).

El espacio de posibles vectores resultantes de la matriz es el llamado espacio imagen, y cuando el determinante es nulo, este espacio imagen tendrá menos dimensiones que el espacio previo a la transformación.

El rango de una matriz es el número de dimensiones de este espacio imagen. Conviene distinguirlo del determinante: cuando este último es distinto a \( 0\) significa que el rango es completo, es decir, ninguna dimensión se ha perdido. Las dimensiones del espacio imagen son las mismas que el espacio original. En cambio si el determinante es \( 0\), la transformación aplasta alguna dirección. Fijémonos que el determinante no nos dice cuantas dimensiones se pierden, si no si se ha perdido alguna.

Desde esta perspectiva, el rango mide la riqueza geométrica de una transformación. Cuanto mayor es el rango, más dimensiones conserva, aunque su valor no puede ser mayor al de las dimensiones del espacio original. Para cualquier matriz cuadrada \( n \times n\), el rango máximo será evidentemente \( n\), el caso con todos los vectores columna independientes. Para matrices no cuadradas \( m \times n\) el rango máximo siempre será el valor más pequeño. Por el contrario, cuanto menor es el rango, más severa es la pérdida de información.

Aunque la matriz tenga tres vectores columnas, las dimensiones del espacio imagen dependerá del número de vectores que sean linealmente independientes. Si alguno de ellos no lo fuese, el rango de la matriz ya no sería completo, sino menor que \( 3\) o incluso \( 0\) si todas las direcciones colapsan en el vector nulo.

2.8 – Espacio nulo

Nos vamos a centran ahora en matrices de rango no completo, es decir, aquellas en las que existen direcciones que han colapsado. Si tenemos la idea firmemente asentada, cuando se da algún colapso de este tipo, significa que infinitos vectores del espacio original se transforman en un único punto en el espacio imagen. Y cuando ese punto es el vector nulo, podemos introducir un nuevo concepto. El espacio nulo (también llamado kernel) de una matriz está formado por todos los vectores que, al aplicar la transformación, terminan exactamente en el valor nulo, desapareciendo.

Ya dijimos que el determinante no indica el número de dimensiones perdidas. Para ello tenemos que fijarnos en las dimensiones de espacio nulo, que viene a convertir en una suerte de cara opuesta del espacio imagen. Esa dimensión perdida que aparece cuando el rango no es completo es la que gana el kernel, de manera que las dimensiones del kernel sumadas al del espacio imagen dan como resultados la dimensión del espacio original previo a la transformación. Esto último se conoce como Teorema de Rango-Nulidad:

$$ dim Img (A) + dim Kern (A) = n$$

para una matriz \( A\) de \( n\) columnas.

La animación muestra, como en la sección anterior, un espacio tridimensional creado por tres vectores independientes.

2.9 – Matriz inversa

Cuando una transformación lineal modifica el espacio, surge una pregunta inmediata: ¿es posible volver atrás? En muchos casos la respuesta es sí. Si rotamos una figura \( 90º \), podemos girarla otros \( 90º \) en sentido contrario y recuperar exactamente la posición original. Si ampliamos una superficie al doble de tamaño, podemos reducirla a la mitad para reconstruirla. Algunas transformaciones parecen poseer una especie de «marcha atrás».

Las matrices inversas formalizan precisamente esa idea. Una matriz inversa es una segunda transformación capaz de deshacer por completo el efecto de la primera. Dada una matriz $A$ denotamos su inversa como $A^{-1}$, de tal modo que

$$A^{-1}A = I$$

o lo que es lo mismo, aplicar la transformación $A$ y luego su inversa $A^{-1}$ es equivalente a no realizar ninguna transformación, representada por la matriz de identidad $I$.

Calcular la matriz inversa requiere de procedimientos mecánicos que no detallaremos aquí. Lo que nos interesa destacar es cuando es posible calcular esta matriz y cuando no. Y es que no todas las transformaciones pueden deshacerse. Imaginemos una matriz que aplasta todo el plano sobre una única línea. Como ya adelantamos en la sección anterior, después de esa transformación puntos originalmente distintos han terminado ocupando la misma posición. Observando únicamente el resultado, ya no hay forma de recrear ese espacio. Si existiera una matriz inversa la estaríamos obligando a devolver toda una línea de vectores por cada punto del espacio colapsado, lo cual no es el comportamiento esperado de las matrices. La información se ha perdido. Por eso una transformación solo puede tener inversa cuando conserva toda la información del espacio original. En términos geométricos, debe evitar colapsar dimensiones. Y esto enlaza con lo visto antes: si el determinante de una matriz es \( 0\), entonces una de las direcciones ha colapsado y la matriz no tiene inversa. Cualquier otro valor de determinante significaría que es posible revertir la transformación.

En el plano tridimensional, el determinante mide el volumen y cuánto se ha expandido o contraído este. La animación muestra la matriz de transformación y su inversa. El cálculo de la inversa se realiza que no explicaremos aquí, dado que nuestro objetivo es explorar el concepto antes que.

Podéis probar a introducir una matriz de transformación, simplemente haciendo que uno de los vectores columna sea la suma de los otros dos. Veréis que el volumen se convierte en plano. Una de las dirección habrá colapsado y el determinante resultante será \( 0\)

2.10 – Sistemas de ecuaciones lineales I

Veamos la aplicación de las matrices en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, ecuaciones sencillas sin potencias que comparten una o más incógnitas. El objetivo es lograr despejar dichas incógnitas de manera que satisfagan todas las ecuaciones a la vez. Un ejemplo de sistema de tres ecuaciones y dos incógnitas:

\(2x \; – \; y = -7\)

\(-3x + 2y = 12\)

\(-x \; – \; 2y = -4\)

Traduciendo esto a una notación matricial, podemos observar que este mismo sistema de tres ecuaciones lineales puede representarse como la multiplicación de una matriz de coeficientes por un vector de incógnitas de la forma \(A\mathbf{v} = \mathbf{u}\):

Supongamos que solo tomásemos en cuenta la primera ecuación \(2x \; – \; y = -7\). No tendríamos suficiente información para resolver los valores de \( x\) e \( y\). El número de opciones válidas sería infinito, siendo algunos ejemplo \( \left\{ x = -3, y = 1 \right\}\), \( \left\{ x = 0, y = 7 \right\}\) o \( \left\{ x = 1, y = 9 \right\}\). Aun así, una ecuación no deja de describir una restricción entre dos valores desconocidos: \(x\) e \(y\) no pueden tener cualquier valor. El valor de uno determina el valor de otro. Es por ello que todas las posibles soluciones viven en un mismo espacio unidimensional, una línea sobre el plano. Este es el llamado espacio de soluciones, y para una sola ecuación, siempre será igual a su número de incógnitas menos uno.

Idealmente, cada nueva ecuación que se añade al sistema restringe aún más el espacio de soluciones, reduciendo en uno sus dimensiones. Así, si añadimos la segunda ecuación, dicho espacio pasaría de ser unidimensional a un solo punto del plano, por lo que daríamos el sistema por resuelto. Si en vez de dos incógnitas como en este ejemplo tuviéramos tres, necesitaríamos al menos tres ecuaciones para poder resolver qué punto exacto del espacio tridimensional resuelve el sistema.

Hemos dicho idealmente porque esta restricción no siempre se cumple, y es que para reducir en uno las dimensiones del espacio de soluciones se requiere que ambas ecuaciones sean linealmente independientes. De lo contrario, el espacio de soluciones tendrá en ambas la misma dirección, sin añadir restricción alguna. Así, un sistema de ecuaciones podría contener un gran número de ecuaciones y aun así tener un número infinito de soluciones. Podemos decir que las dimensiones del espacio de soluciones es igual al número de incógnitas menos el rango de la matriz de coeficientes.

También puede darse otra circunstancia en que esta relación anterior no aplicaría. Y es que exista alguna ecuación que sea totalmente incompatible con el resto, o lo que es lo mismo, que no existan valores de incógnitas que puedas satisfacerlas a todas al mismo tiempo. En ese caso el sistema no tiene solución.

Cada ecuación establece una proporción fija entre ambas dimensiones \(x\) e \(y\). La ecuación \(2x \; – \; y = -7\) nos dice que los valores de \( y\) están limitados a aquellos que cumplan una relación algebraica tal que \( y = 2x +7\). Es por ello que el espacio de soluciones está restringido a una línea en el plano. Si despejamos la \(y\) en el resto de ecuaciones, cada una conforma su propia línea.

Cada plano en este espacio representa el espacio de soluciones de una ecuación, el trio de valores que podría resolverla. Dado que buscamos resolver el sistema por completo, debemos localizar el punto que satisface a las tres al unísono. Si las tres ecuaciones son linealmente independientes, ese punto tendrá una única y exacta solución.

No pasa lo mismo si no son linealmente dependientes, lo cual puede ser modelado en la animación creando columnas que sean combinaciones lineales de otras. Una sola columna dependiente supondría un plano que interseca a dos planos de soluciones paralelos: el sistema tendría infinitas soluciones. Si todas son combinaciones lineales, entonces los planos son todos paralelos y distintos: no existe solución al sistema.

2.11 – Sistemas de ecuaciones lineales II

En la sección anterior vimos los sistemas de ecuaciones lineales como restricciones de un espacio de soluciones. Pero también podemos comprender estas tres posibilidades que hemos visto —una solución, infinitas soluciones o ninguna— recurriendo a la interpretación de las matrices como transformaciones.

Volvamos a la matriz de coeficientes y la forma \(A\mathbf{v} = \mathbf{u}\). En vez de mirar las filas de \(A\) como ecuaciones que restringen soluciones, miraríamos las columnas de \(A\) como vectores que debemos combinar para alcanzar \(\mathbf{u}\). Entonces

\(2x – y = -7\)

\(-3x + 2y = 12\)

\(-x – 2y = -4\)

se convierte ahora en:

La resolución de las ecuaciones pasa ahora por localizar los escalares \(x\) e \(y\) que permiten a esas columnas alcanzar el vector de destino \(\mathbf{u}\). Esto es simplemente una perspectiva alternativa a la presentada en la sección anterior para captar la intuición geométrica detrás de la solución de ecuaciones lineales. El resultado sería igualmente el mismo.

¿Podemos construir el vector de destino como una combinación lineal de las columnas de la matriz? La respuesta depende de dónde se encuentre el vector de destino respecto al espacio generado por las columnas de la matriz. Si \(\mathbf{u}\) no pertenece al espacio imagen de la matriz, ninguna combinación de sus columnas podrá alcanzarlo y el sistema no tendrá solución. Si pertenece a él y las columnas son linealmente independientes, existirá una única combinación capaz de producirlo. En cambio, si las columnas son linealmente dependientes, distintas combinaciones pueden conducir al mismo vector de destino, dando lugar a infinitas soluciones.

En esta animación se resuelve automáticamente el sistema de ecuaciones, calculando el escalar (y por tanto la extensión) de cada vector columna de la matriz. Cuando el sistema es resoluble, la suma de los vectores apunta directamente al vector destino.