El Axioma de Elección

El Axioma de Elección

En los artículos anteriores hemos visto cómo las paradojas obligaron a restringir la formación de clases y funciones proposicionales. La Teoría de Tipos de Russell perseguía impedir que una expresión pudiera referirse a una totalidad de la que ella misma formase parte. El problema que nos ocupará ahora es diferente. No parte de una contradicción, sino de una pregunta acerca de la existencia matemática: ¿podemos afirmar que existe un objeto aunque no dispongamos de una regla que permita construirlo o determinarlo?

Esta pregunta se encuentra en el origen de uno de los principios más discutidos de la matemática moderna: el Axioma de Elección. Su enunciado parece, a primera vista, completamente inocente. Si disponemos de varios conjuntos no vacíos, deberíamos poder escoger un elemento de cada uno de ellos. Sin embargo, cuando la colección de conjuntos es infinita y no existe ningún criterio que indique qué elemento elegir, esa aparente evidencia se convierte en un supuesto matemático adicional.

Elegir un elemento

Supongamos que tenemos tres conjuntos no vacíos:

$$A=\{1,2\}\qquad B=\{5,7\}\qquad C=\{11,13\}$$

No parece existir ninguna dificultad en elegir un elemento de cada uno. Podemos escoger, por ejemplo, \(1\) de \(A\), \(5\) de \(B\) y \(11\) de \(C\). El resultado puede representarse mediante una función \(f\):

$$f(A)=1\qquad f(B)=5\qquad f(C)=11$$

La función \(f\) asigna a cada conjunto uno de sus elementos. Es lo que denominamos una función de elección. La condición que debe cumplir es muy sencilla:

$$f(X)\in X$$

Cuando la familia contiene un número finito de conjuntos, podemos efectuar las elecciones una tras otra. No necesitamos introducir ningún nuevo principio matemático: basta con repetir un número finito de veces la afirmación de que cada conjunto no vacío posee algún elemento.

Una regla de elección

Tampoco surge un problema especial cuando disponemos de una regla que determina qué elemento debe elegirse. Si todos los conjuntos están formados por números naturales, podríamos seleccionar siempre el menor:

$$f(X)=\min(X)$$

La regla define por sí misma la función. No nos limitamos a afirmar que existe una elección, sino que indicamos cómo efectuarla.

Un ejemplo tradicional permite visualizar la diferencia. Imaginemos una colección infinita de pares de zapatos. Podemos escoger el zapato izquierdo de cada par, pues la propiedad «ser el zapato izquierdo» ofrece una regla común. En cambio, si tenemos una colección infinita de pares de calcetines indistinguibles por sus propiedades relevantes, sabemos que cada par contiene dos objetos, pero no disponemos de un criterio uniforme para elegir uno de ellos.

El Axioma de Elección no proporciona esa regla. Afirma simplemente que existe alguna elección simultánea, aunque no sepamos describirla ni calcularla.

La elección simultánea

Sea \(\mathcal{A}\) una familia de conjuntos no vacíos. El Axioma de Elección afirma que existe una función \(f\), definida sobre todos los elementos de \(\mathcal{A}\), que selecciona un elemento de cada conjunto:

$$\left[\forall A\in\mathcal{A}\,(A\neq\emptyset)\right]\rightarrow\exists f\left[\operatorname{dom}(f)=\mathcal{A}\land\forall A\in\mathcal{A}\,(f(A)\in A)\right]$$

La función \(f\) recibe como argumento un conjunto \(A\) de la familia y devuelve uno de sus elementos. No se exige que el elemento seleccionado posea ninguna propiedad especial. Tampoco se afirma que exista una única función de elección: diferentes funciones pueden escoger elementos distintos.

A partir de la función podemos formar la colección de elementos elegidos:

$$C=\{f(A)\mid A\in\mathcal{A}\}$$

Cuando los conjuntos de \(\mathcal{A}\) son disjuntos entre sí, \(C\) contiene exactamente un elemento de cada uno:

$$\forall A\in\mathcal{A}\qquad |C\cap A|=1$$

Esta formulación mediante un conjunto de elección es especialmente intuitiva, aunque la versión general del axioma no exige que los conjuntos sean disjuntos. Si dos conjuntos comparten un mismo elemento, una función de elección puede seleccionar ese elemento para ambos.

Elecciones finitas e infinitas

La dificultad no reside en elegir un elemento aislado. Todo conjunto no vacío contiene, por definición, al menos uno. Tampoco reside en efectuar un número finito de elecciones. El salto aparece cuando pretendemos realizar una cantidad infinita de elecciones simultáneas sin disponer de una regla común.

Para cada conjunto \(A\in\mathcal{A}\) podemos afirmar:

$$\exists x\,(x\in A)$$

Pero el Axioma de Elección permite pasar de todas esas afirmaciones individuales a la existencia de una única función que reúne las elecciones:

$$\exists f\,\forall A\in\mathcal{A}\,(f(A)\in A)$$

El tránsito entre ambas expresiones parece pequeño, pero no es una simple reorganización gramatical. En la primera afirmamos por separado que cada conjunto posee algún elemento. En la segunda postulamos la existencia de un objeto nuevo —la función \(f\)— que contiene todas las elecciones a la vez.

Existencia sin definición

El carácter polémico del axioma puede resumirse así: garantiza la existencia de una función sin proporcionar una definición que permita reconocerla de forma individual. Sabemos que alguna función de elección existe, pero el axioma no nos dice cuál.

Este tipo de razonamiento no es extraño en la matemática clásica. Es posible demostrar que existe un objeto sin ofrecer un procedimiento para construirlo. Sin embargo, el Axioma de Elección lleva esta idea hasta un caso especialmente visible: reúne una cantidad potencialmente inmensa de decisiones arbitrarias en un único objeto matemático.

Antes del Axioma de Elección

El principio no apareció repentinamente en la obra de Zermelo. Durante el siglo XIX, los matemáticos habían efectuado elecciones implícitas en numerosas demostraciones. Cuando se decía «para cada conjunto elijamos un elemento» o «tomemos un representante de cada clase», se daba por supuesto que todas esas elecciones podían realizarse simultáneamente.

Mientras las colecciones tratadas eran finitas, numerables o estaban acompañadas por algún criterio natural, este supuesto apenas llamaba la atención. La situación cambió con la Teoría de Conjuntos de Cantor, que obligó a trabajar con totalidades infinitas cada vez más generales.

El buen orden

Una de las cuestiones centrales de la teoría cantoriana era determinar si todo conjunto podía ser bien ordenado. Un orden es un buen orden cuando todo subconjunto no vacío posee un primer elemento.

Si \(\preceq\) es un orden sobre un conjunto \(M\), la condición puede expresarse como:

$$\forall B\subseteq M\left[B\neq\emptyset\rightarrow\exists b\in B\,\forall x\in B\,(b\preceq x)\right]$$

Los números naturales con su orden habitual están bien ordenados. Todo conjunto no vacío de naturales contiene un número menor que todos los demás. Por ejemplo, el subconjunto de los números pares positivos tiene como primer elemento el \(2\).

El orden habitual de los números reales, en cambio, no es un buen orden. El intervalo abierto \((0,1)\) no posee un primer elemento: dado cualquier número positivo del intervalo, siempre podemos encontrar otro menor.

Cantor sostenía que todo conjunto podía recibir algún buen orden, aunque ese orden no coincidiese con el habitual y aunque no fuéramos capaces de describirlo explícitamente. Esta afirmación era fundamental para extender a cualquier conjunto las técnicas desarrolladas para los números ordinales.

El continuo

La cuestión se volvía especialmente llamativa en el caso del continuo. ¿Era posible ordenar todos los números reales de tal manera que cada subconjunto no vacío tuviera un primer elemento? El orden obtenido tendría que ser muy diferente del orden habitual de la recta numérica.

No bastaba con afirmar que un buen orden debía existir. Era necesario justificarlo. Esta cuestión fue incluida por Hilbert entre los grandes problemas que la matemática del nuevo siglo debía resolver.

Zermelo y el Teorema del Buen Orden

En 1904 Ernst Zermelo presentó una demostración según la cual todo conjunto puede ser bien ordenado. El principio decisivo de su argumento era precisamente la posibilidad de elegir simultáneamente un elemento de cada conjunto no vacío de una familia.

Zermelo no consideraba que estuviera introduciendo una práctica extraña a la matemática. A su juicio, los matemáticos ya utilizaban este procedimiento de manera habitual, aunque no lo hubieran aislado como un principio independiente. Su contribución fue hacerlo explícito y mostrar la extraordinaria fuerza de sus consecuencias.

Elegir entre los subconjuntos

Sea \(M\) un conjunto cualquiera. Consideremos todos sus subconjuntos no vacíos. El Axioma de Elección permite postular una función \(c\) que selecciona un elemento de cada uno:

$$c:\mathcal{P}(M)\setminus\{\emptyset\}\longrightarrow M$$

$$c(A)\in A$$

La función \(c\) puede elegir un elemento de \(M\). Después puede elegir otro del conjunto de elementos restantes; a continuación, otro de los que todavía no han sido elegidos, y así sucesivamente.

La idea no consiste únicamente en repetir el proceso durante los pasos numerados por los naturales. En un conjunto infinito arbitrario, el procedimiento puede continuar a través de etapas transfinitas. Cada nuevo elemento ocupa una posición posterior a todos los previamente seleccionados. El orden de aparición termina proporcionando un buen orden de \(M\).

Esta es solo la intuición general de la demostración. El argumento completo exige precisar cómo se organizan todas las etapas y cómo se evita que el proceso quede detenido antes de haber recorrido el conjunto entero.

Del buen orden a la elección

El vínculo funciona también en sentido contrario. Supongamos que todo conjunto puede ser bien ordenado y que \(\mathcal{A}\) es una familia de conjuntos no vacíos. Podemos reunir los elementos de esos conjuntos y asignar un buen orden a la totalidad resultante.

Cada conjunto \(A\in\mathcal{A}\) tendrá entonces un primer elemento según ese orden. Basta con escogerlo:

$$f(A)=\min_{\preceq}(A)$$

De esta manera obtenemos una función de elección. El Axioma de Elección permite demostrar el Teorema del Buen Orden y, a su vez, el Teorema del Buen Orden permite recuperar una función de elección. Ambos principios expresan, desde perspectivas diferentes, una misma fuerza matemática.

La controversia de 1904

La demostración de Zermelo provocó una de las mayores controversias matemáticas de principios del siglo XX. El desconcierto no procedía únicamente de la conclusión. Muchos matemáticos ya sospechaban que todo conjunto debía poder ser bien ordenado. Lo verdaderamente polémico era el tipo de existencia utilizado para justificarlo.

La función de elección no era definida mediante una fórmula concreta. Tampoco se ofrecía un procedimiento para calcular qué elemento debía seleccionar de cada conjunto. Zermelo afirmaba su existencia de una sola vez, incluso cuando la familia requería una cantidad no numerable de elecciones.

Borel, Baire y Lebesgue

Los analistas franceses Émile Borel, René Baire y Henri Lebesgue recibieron el principio con profundas reservas. Sus propias investigaciones dependían de ideas procedentes de la Teoría de Conjuntos, pero desconfiaban de los razonamientos que afirmaban la existencia de objetos imposibles de definir o construir.

Borel estaba dispuesto a admitir elecciones finitas e incluso determinadas sucesiones numerables de elecciones. Lo que rechazaba era el salto a una cantidad no numerable de decisiones completamente arbitrarias. Para él, una supuesta elección que no pudiera describirse mediante una ley quedaba fuera de la práctica matemática legítima.

Lebesgue formuló el problema de manera especialmente directa: ¿puede demostrarse la existencia de un objeto matemático sin definirlo? Desde una perspectiva constructiva, afirmar que algo existe exige proporcionar condiciones que permitan determinarlo de manera efectiva o, al menos, caracterizarlo de forma unívoca.

Baire adoptó una posición todavía más restrictiva. Rechazó que, por el mero hecho de disponer de un conjunto, debamos considerar dada de manera automática la totalidad de sus subconjuntos y una elección efectuada sobre todos ellos.

Hadamard y la existencia matemática

Jacques Hadamard defendió la posición contraria. Aceptaba que una demostración pudiera establecer la existencia de un objeto sin ofrecer una descripción individual del mismo. Para Hadamard, identificar la existencia matemática con nuestra capacidad psicológica o práctica para construir un objeto introducía una restricción ajena a la naturaleza de la matemática.

El debate enfrentaba así dos concepciones. Según la primera, un objeto matemático existe cuando podemos definirlo o construirlo. Según la segunda, una demostración puede garantizar su existencia aunque no proporcione un método que permita exhibirlo.

El Axioma de Elección se convirtió en un punto de referencia privilegiado para esta disputa. Su enunciado separaba con gran claridad dos ideas que hasta entonces habían aparecido frecuentemente confundidas: demostrar que existe una elección y mostrar cómo se efectúa esa elección.

Poincaré y el círculo vicioso

La crítica al Axioma de Elección se mezcló además con otro problema que ya hemos tratado en el artículo anterior: las definiciones impredicativas. Poincaré no centró todas sus objeciones en la elección misma, sino en determinadas totalidades utilizadas durante la primera demostración de Zermelo.

En un momento del argumento era necesario considerar la totalidad de ciertos conjuntos definidos mediante el propio procedimiento. Para Poincaré, la definición incurría en un círculo vicioso: el objeto definido podía pertenecer a la totalidad que se utilizaba para definirlo.

Conviene, por tanto, separar dos críticas distintas. Una cuestionaba que pudiera afirmarse la existencia de una función de elección sin definirla. La otra cuestionaba el uso de totalidades impredicativas en la demostración concreta. Era posible aceptar el Axioma de Elección y rechazar la prueba de Zermelo, o aceptar la corrección de la prueba condicionalmente y rechazar el propio axioma.

Una controversia sin paradoja

A diferencia del Principio de Comprensión irrestricto, el Axioma de Elección no conduce inmediatamente a una contradicción como la Paradoja de Russell. La objeción no consiste en que elegir un elemento de cada conjunto produzca una antinomia.

La duda afecta al significado de la existencia matemática. El axioma introduce una función global sin indicar cuál es y sin especificar una propiedad que la distinga de todas las demás. Para sus defensores, esto es una demostración legítima de existencia. Para sus críticos, se trata de una existencia meramente verbal.

La respuesta de Zermelo

Zermelo respondió ampliamente a sus críticos. En 1908 presentó una nueva demostración del Teorema del Buen Orden, inspirada en la teoría de cadenas de Dedekind. La nueva prueba seguía dependiendo del Axioma de Elección, pero pretendía exponer con mayor claridad el proceso y evitar algunas de las objeciones dirigidas contra el argumento de 1904.

Zermelo sostuvo además que prohibir todas las definiciones impredicativas pondría en peligro procedimientos utilizados habitualmente en el Análisis. A su juicio, los críticos imponían a la Teoría de Conjuntos restricciones que no aplicaban con la misma severidad a otras ramas consolidadas de la matemática.

La discusión dejó, sin embargo, una enseñanza más profunda. Ya no era suficiente emplear principios conjuntistas de manera intuitiva. Era necesario indicar con precisión qué conjuntos podían admitirse, qué operaciones podían realizarse sobre ellos y qué principios de existencia debían aceptarse.

Ese mismo año Zermelo presentó una axiomatización de la Teoría de Conjuntos. En ella, el Axioma de Elección aparecería como uno de los principios explícitos del sistema. El objetivo ya no consistía en reducir la teoría a una intuición informal de conjunto, sino en delimitarla mediante una serie de reglas precisas.

Conclusión

El Axioma de Elección parece afirmar algo elemental: de cada conjunto no vacío podemos elegir un elemento. Su profundidad aparece cuando la elección debe efectuarse simultáneamente sobre una familia infinita y no existe ninguna regla que determine los elementos seleccionados.

Zermelo convirtió este supuesto, utilizado hasta entonces de manera implícita, en un principio matemático explícito. Gracias a él pudo demostrar que todo conjunto admite un buen orden. Pero la demostración abrió una discusión que desbordaba el problema original: ¿es suficiente probar que un objeto existe o debemos ser capaces de construirlo y definirlo?

La controversia mostró que la crisis de fundamentos no se limitaba a eliminar paradojas. También era necesario decidir qué formas de existencia y de demostración serían admitidas por la nueva matemática. La Teoría de Tipos de Russell respondía restringiendo las expresiones capaces de generar círculos viciosos. Zermelo tomaría otra dirección: formular de manera explícita los principios que debían regir la formación y el comportamiento de los conjuntos.

En el siguiente artículo estudiaremos esa propuesta: los axiomas con los que Zermelo trató de reconstruir la Teoría de Conjuntos sobre una base rigurosa.

Lecturas recomendadas

• Moore, G. H. (1982). Zermelo’s Axiom of Choice: Its Origins, Development, and Influence.
• Ferreirós, J. (2007). Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics.
• Torretti, R. (1998). El paraíso de Cantor: la tradición conjuntista en la filosofía matemática.
• Zermelo, E. (1904). Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann.
• Zermelo, E. (1908). Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung.