Axiomas de Zermelo-Fraenkel

Axiomatización

El método clásico de axiomatización buscaba enunciar los principios simples e intuitivos a partir de los cuales sustentar una teoría. En la tradición euclidiana, los axiomas eran considerados verdades evidentes que no requerían demostración. En torno a estos principios no debería existir duda alguna: se presuponían como punto de partida de todo razonamiento posterior.

La nueva matemática de finales del siglo XIX comenzó a entender de una forma distinta la idea de axioma. Los axiomas no tenían por qué encarnar principios intuitivos o verdades evidentes del pensamiento humano. Pasaron a establecer una estructura simbólica definida sin ambigüedad, dentro de la cual pudieran desarrollarse las demostraciones. Los objetos a los que se aplicara esa estructura podrían variar según la interpretación, siempre que cumplieran las relaciones exigidas por los axiomas.

Desde esta nueva perspectiva, los axiomas no describen necesariamente unos objetos previamente conocidos. Determinan implícitamente cómo deben relacionarse los objetos de cualquier dominio que satisfaga la teoría. Hablaremos más sobre esta concepción formal de la axiomatización en los próximos artículos.

La axiomatización de conjuntos

Si recordamos artículos anteriores, Cantor pretendía nada menos que construir el concepto de número natural y las operaciones aritméticas básicas a partir de los conjuntos y de las nociones de ordinalidad y cardinalidad. Teniendo en cuenta que, para muchos matemáticos, la Aritmética era la madre de las matemáticas, presentar los conjuntos como el fundamento de la Aritmética equivalía prácticamente a sustentar sobre ellos toda la matemática.

Sin embargo, las paradojas habían mostrado que no era posible formar conjuntos recurriendo libremente a cualquier propiedad. Se hacía acuciante una reforma de la Teoría de Conjuntos desde sus cimientos. Tal era el objetivo perseguido por Zermelo.

La Teoría de Conjuntos es aquella rama de la matemática cuya tarea es investigar matemáticamente las nociones fundamentales de «número», «orden» y «función», tomándolas en su forma simple y prístina, y desarrollar así los fundamentos lógicos de toda Aritmética y Análisis; por lo tanto, constituye un componente indispensable de la ciencia de las matemáticas.

Ernst Zermelo. Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. I. 1908.

Axiomas de Zermelo

En 1908 Zermelo presentó su lista de axiomas, lo que más tarde sería conocido como Teoría Axiomática de Zermelo y constituiría la base de los posteriores Axiomas de Zermelo-Fraenkel.

El objetivo no era definir directamente qué es un conjunto mediante una propiedad general. Zermelo buscaba especificar qué operaciones de formación de conjuntos eran legítimas y bajo qué condiciones podía afirmarse la existencia de un nuevo conjunto.

Dominio de objetos

La formulación original de Zermelo presuponía un universo o dominio de objetos. Entre estos objetos se encontraban los conjuntos, caracterizados por participar en la relación de pertenencia \(\in\). También podían admitirse elementos primitivos o urelementos, objetos que podían pertenecer a conjuntos pero que no eran ellos mismos conjuntos.

El dominio es el campo sobre el que se interpretan los axiomas. Los axiomas no son propiedades que cada objeto deba satisfacer individualmente, sino condiciones globales que debe cumplir toda la estructura formada por el dominio y la relación de pertenencia. Si los axiomas fueran contradictorios entre sí, no existiría ningún dominio capaz de satisfacerlos.

La Teoría de Conjuntos actual suele formularse como una teoría pura: todos sus objetos son conjuntos y todo elemento de un conjunto es también un conjunto. No obstante, para comprender históricamente el sistema de Zermelo conviene recordar que su dominio original permitía distinguir entre conjuntos y objetos elementales.

Axioma de Extensionalidad

El primero de los axiomas de Zermelo, el Axioma de Extensionalidad, afirma que dos conjuntos que poseen exactamente los mismos elementos son un mismo conjunto.

$$\forall A\forall B\left[\forall x\,(x\in A\leftrightarrow x\in B)\rightarrow A=B\right]$$

Un conjunto queda determinado exclusivamente por sus elementos. No importa cómo haya sido definido, descrito o construido: si dos conjuntos contienen los mismos objetos, son iguales.

Este axioma establece un criterio de identidad para los conjuntos, pero no afirma por sí mismo que cualquier propiedad determine un conjunto. El rechazo del Principio de Comprensión irrestricto se manifestará especialmente en el Axioma de Separación, que limitará la formación de conjuntos por medio de propiedades.

La distinción es importante. Dos propiedades diferentes pueden seleccionar exactamente los mismos elementos y, por tanto, determinar el mismo conjunto. La identidad de los conjuntos es extensional: depende de sus miembros, no del modo en que estos sean descritos.

Axioma de conjuntos elementales

El Axioma de Extensionalidad ofrece un criterio para comparar conjuntos, pero no garantiza todavía que exista ninguno. El segundo axioma de Zermelo, conocido como Axioma de Conjuntos Elementales, afirmaba la existencia de algunos conjuntos básicos.

En primer lugar, existe un conjunto al que no pertenece ningún elemento: el conjunto vacío, que denotamos mediante el símbolo \(\emptyset\).

$$\forall x\,(x\notin\emptyset)$$

Además, para cualquier objeto \(a\) existe el conjunto unitario \(\{a\}\), cuyo único elemento es \(a\). Para cualesquiera objetos \(a\) y \(b\), existe también el conjunto par \(\{a,b\}\), formado exactamente por ambos:

$$\{a\}\qquad \{a,b\}$$

En las formulaciones modernas, estas afirmaciones suelen separarse entre la existencia del conjunto vacío y el Axioma del Par. El conjunto unitario puede obtenerse haciendo \(a=b\):

$$\{a,a\}=\{a\}$$

Aplicando reiteradamente esta operación podemos formar cadenas arbitrariamente largas de conjuntos:

$$\emptyset,\quad \{\emptyset\},\quad \{\{\emptyset\}\},\quad \{\{\{\emptyset\}\}\},\ldots$$

Esto permite construir tantos conjuntos finitos como deseemos. Sin embargo, no garantiza todavía la existencia de un único conjunto que contenga todas esas etapas. Para ello será necesario el Axioma del Infinito.

Axioma de Separación

Para Zermelo, una propiedad estaba bien definida cuando las relaciones fundamentales del dominio, los axiomas y las leyes de la lógica permitían determinar sin arbitrariedad si se cumplía o no para cada objeto considerado.

Esta noción de propiedad bien definida resultaba todavía imprecisa. Zermelo no especificaba con exactitud qué expresiones lógicas podían utilizarse. La cuestión sería discutida durante los años posteriores y terminaría resolviéndose mediante la formulación de la Teoría de Conjuntos en un lenguaje lógico formal.

El Axioma de Separación afirma que una propiedad bien definida permite seleccionar los elementos de un conjunto \(A\) que la satisfacen. El resultado es un nuevo conjunto \(B\), subconjunto de \(A\):

$$B=\{x\in A\mid \varphi(x)\}$$

De manera más explícita:

$$\forall x\left[x\in B\leftrightarrow\bigl(x\in A\land\varphi(x)\bigr)\right]$$

El lector puede comprobar la aparente similitud entre este axioma y el Principio de Comprensión, pues ambos permiten formar conjuntos recurriendo a propiedades. La diferencia es fundamental: el Axioma de Separación solo permite seleccionar elementos dentro de un conjunto previamente dado.

No podemos formar directamente «el conjunto de todas las cosas que cumplen \(\varphi\)». Solo podemos formar el subconjunto de aquellos elementos de \(A\) que cumplen \(\varphi\). Esta restricción impide reproducir la Paradoja de Russell.

Por ejemplo, dado un conjunto \(A\), podemos definir:

$$R_A=\{x\in A\mid x\notin x\}$$

La construcción no conduce a una contradicción. Si \(R_A\) perteneciera a \(A\), se deduciría que \(R_A\notin A\); por tanto, concluimos simplemente que \(R_A\notin A\). Lo que no puede suponerse es la existencia de un conjunto universal que contenga absolutamente todos los conjuntos.

Axioma del Conjunto Potencia

Todo conjunto \(A\) determina un nuevo conjunto \(\mathcal{P}(A)\), denominado conjunto potencia, formado por todos y solo los subconjuntos de \(A\):

$$\mathcal{P}(A)=\{B\mid B\subseteq A\}$$

Por ejemplo, si \(A=\{a,b\}\), entonces:

$$\mathcal{P}(A)=\{\emptyset,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$$

El lector que haya seguido esta serie reconocerá rápidamente la importancia de este axioma para proyectar la Teoría de Conjuntos sobre los dominios numéricos. Por el Teorema de Cantor, el conjunto potencia tiene siempre una cardinalidad estrictamente mayor que el conjunto original:

$$|A|<|\mathcal{P}(A)|$$

Cuando \(A=\mathbb{N}\), el conjunto potencia posee la cardinalidad del continuo:

$$|\mathcal{P}(\mathbb{N})|=2^{\aleph_0}$$

La afirmación de que esta cardinalidad sea precisamente \(\aleph_1\) equivale a la Hipótesis del Continuo y no se sigue únicamente del Axioma del Conjunto Potencia.

Axioma del Conjunto Unión

Dado un conjunto \(A\) cuyos elementos son a su vez conjuntos, existe el conjunto unión \(\bigcup A\), formado por todos los elementos que pertenecen a alguno de los conjuntos contenidos en \(A\):

$$\bigcup A=\{x\mid \exists B\,(B\in A\land x\in B)\}$$

Por ejemplo, si:

$$A=\bigl\{\{a,b\},\{b,c\}\bigr\}$$

entonces:

$$\bigcup A=\{a,b,c\}$$

Axioma de Elección

Como vimos en el artículo anterior, el Axioma de Elección afirma que, dada una familia \(\mathcal{A}\) de conjuntos no vacíos, existe una función \(f\) que selecciona un elemento de cada uno:

$$\forall A\in\mathcal{A}\qquad f(A)\in A$$

En la formulación original de Zermelo, el axioma se expresaba mediante una familia de conjuntos no vacíos y disjuntos entre sí. Se afirmaba entonces la existencia de un conjunto que contenía exactamente un representante de cada miembro de la familia.

La formulación mediante funciones de elección es más general y no exige que los conjuntos sean disjuntos. Ambas versiones son equivalentes mediante transformaciones adecuadas.

Este axioma había sido utilizado por Zermelo para demostrar el Teorema del Buen Orden. Su inclusión en la axiomatización de 1908 hacía explícito uno de los principios más controvertidos de la nueva Teoría de Conjuntos.

Axioma del Infinito

Los axiomas anteriores permiten construir conjuntos finitos de tamaño arbitrariamente grande, pero no garantizan la existencia de un único conjunto infinito. El Axioma del Infinito afirma que existe un conjunto \(I\) que contiene al conjunto vacío y que, junto a cada elemento \(x\), contiene también su sucesor conjuntista \(x\cup\{x\}\):

$$\emptyset\in I\land\forall x\in I\bigl(x\cup\{x\}\in I\bigr)$$

Partiendo del conjunto vacío, esta operación genera:

$$\emptyset,\quad \{\emptyset\},\quad \{\emptyset,\{\emptyset\}\},\quad \ldots$$

Estos conjuntos pueden identificarse respectivamente con los números naturales \(0\), \(1\), \(2\), etc. Mediante el Axioma de Separación puede aislarse dentro de \(I\) el menor conjunto que contiene \(\emptyset\) y está cerrado bajo la operación sucesor. Este conjunto se denota mediante \(\omega\) y representa el conjunto de los números naturales.

La combinación del Axioma del Infinito con el Axioma del Conjunto Potencia permite formar \(\mathcal{P}(\omega)\), cuya cardinalidad es \(2^{\aleph_0}\), estrictamente mayor que la de los números naturales. No obstante, como ya hemos indicado, identificar \(2^{\aleph_0}\) con \(\aleph_1\) requiere aceptar la Hipótesis del Continuo.

La introducción de un conjunto infinito completo fue uno de los aspectos más polémicos de los axiomas de Zermelo. A lo largo de esta serie hemos visto las chocantes conclusiones que pueden obtenerse al aplicar determinados razonamientos sobre el infinito. No es de extrañar que algunos matemáticos rechazaran la aceptación del infinito actual como un objeto dado.

El Axioma de Reemplazo

Unos años después de la publicación de los axiomas, Abraham Fraenkel y Thoralf Skolem advirtieron, de forma independiente, que los principios de Zermelo no eran suficientes para garantizar la existencia de algunos conjuntos utilizados habitualmente en la teoría de ordinales y cardinales.

El problema no consistía en que los axiomas fueran contradictorios, sino en que eran demasiado débiles para recoger ciertas operaciones transfinitas.

Conjunto de conjuntos potencia

El Axioma del Conjunto Potencia puede aplicarse reiteradamente. Dado un conjunto \(Z\), podemos formar:

$$Z,\quad \mathcal{P}(Z),\quad \mathcal{P}(\mathcal{P}(Z)),\quad \mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathcal{P}(Z))),\ldots$$

Denotemos mediante \(\mathcal{P}^n(Z)\) el resultado de aplicar \(n\) veces la operación de conjunto potencia:

$$\mathcal{P}^0(Z)=Z\qquad \mathcal{P}^{n+1}(Z)=\mathcal{P}(\mathcal{P}^n(Z))$$

Para cada número natural \(n\), los axiomas de Zermelo permiten formar individualmente \(\mathcal{P}^n(Z)\). Sin embargo, de ello no se sigue que exista el conjunto que reúne simultáneamente todas esas etapas:

$$\{\mathcal{P}^n(Z)\mid n\in\omega\}$$

La dificultad es sutil. Podemos construir cada elemento de la sucesión por separado, pero necesitamos un principio adicional para afirmar que los resultados de todas esas construcciones forman a su vez un conjunto.

Una vez reunida la sucesión, el Axioma del Conjunto Unión permitiría formar:

$$\bigcup_{n\in\omega}\mathcal{P}^n(Z)$$

Este conjunto representa una etapa límite que no puede alcanzarse aplicando el Axioma del Conjunto Potencia un número finito de veces.

Axioma de Reemplazo

La operación anterior consiste en asociar a cada número natural \(n\) un único conjunto \(\mathcal{P}^n(Z)\). El Axioma de Reemplazo afirma que, si aplicamos una relación funcional bien definida a todos los elementos de un conjunto, los resultados forman también un conjunto.

Si una propiedad \(\varphi(x,y)\) asocia a cada elemento \(x\) de un conjunto \(A\) un único objeto \(y\), entonces existe un conjunto \(B\) formado exactamente por esos valores:

$$\forall x\in A\,\exists!y\,\varphi(x,y)\rightarrow\exists B\,\forall y\left[y\in B\leftrightarrow\exists x\in A\,\varphi(x,y)\right]$$

En términos más intuitivos, si \(f\) es una función definida sobre un conjunto \(A\), su imagen es también un conjunto:

$$f[A]=\{f(x)\mid x\in A\}$$

El axioma no permite reemplazar arbitrariamente cada elemento por cualquier cosa sin condición alguna. Debe existir una regla funcional que determine un único resultado para cada elemento del conjunto inicial.

Fraenkel y Skolem propusieron este principio en 1922. Su verdadera importancia se haría especialmente visible con el desarrollo de la teoría moderna de los ordinales.

Los ordinales de von Neumann

John von Neumann realizó una de las aportaciones más fecundas a la Teoría de Conjuntos del siglo XX. Retomó el concepto cantoriano de ordinal y propuso representar cada ordinal mediante el conjunto de todos sus predecesores.

Los primeros ordinales quedan definidos de la siguiente manera:

$$0=\emptyset$$

$$1=\{0\}=\{\emptyset\}$$

$$2=\{0,1\}=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$$

$$3=\{0,1,2\}$$

En general, cada ordinal \(\alpha\) es el conjunto de todos los ordinales anteriores:

$$\alpha=\{\beta\mid \beta<\alpha\}$$

Si un conjunto \(A\) está bien ordenado por una relación \(\prec\), podemos asociar recursivamente a cada elemento \(a\) el conjunto de las imágenes correspondientes a todos sus predecesores:

$$f(a)=\{f(u)\mid u\prec a\}$$

El resultado es un ordinal que representa el tipo de orden de \(A\). El Axioma de Reemplazo permite reunir en un conjunto las imágenes \(f(u)\) de todos los predecesores y desarrollar rigurosamente estas construcciones transfinitas.

El Axioma de Elección no es necesario para definir los ordinales de von Neumann. Su intervención aparece cuando queremos demostrar que un conjunto arbitrario puede ser bien ordenado y, por tanto, puesto en correspondencia con algún ordinal.

El Axioma de Fundación

El sistema original de Zermelo tampoco impedía la existencia de cadenas descendentes infinitas de pertenencia:

$$\cdots\in A_3\in A_2\in A_1$$

Ni excluía expresamente ciclos como \(A\in A\). Estas posibilidades resultaban incompatibles con la imagen intuitiva de los conjuntos como objetos construidos progresivamente a partir de otros conjuntos anteriores.

El Axioma de Fundación, desarrollado a partir de trabajos de Mirimanoff, von Neumann y otros autores, afirma que todo conjunto no vacío \(A\) contiene algún elemento \(x\) que no comparte ningún elemento con \(A\):

$$\forall A\left[A\neq\emptyset\rightarrow\exists x\in A\,(x\cap A=\emptyset)\right]$$

Este axioma excluye las cadenas descendentes infinitas de pertenencia y, en particular, impide que un conjunto se pertenezca a sí mismo. Contribuye así a la concepción acumulativa de la Teoría de Conjuntos: los conjuntos se forman por etapas a partir de conjuntos construidos anteriormente.

El Axioma de Fundación no formaba parte del sistema de Zermelo de 1908, pero acabaría incorporándose a la formulación estándar de los Axiomas de Zermelo-Fraenkel.

Conclusión

En la actualidad se conoce como Axiomas de Zermelo-Fraenkel, o axiomas ZF, al sistema formado a partir de los principios de Zermelo, enriquecido principalmente con el Axioma de Reemplazo y el Axioma de Fundación. La Separación y el Reemplazo no son en realidad axiomas únicos, sino esquemas axiomáticos: existe una instancia distinta para cada fórmula admisible del lenguaje.

El Axioma de Elección no se incluye en la denominación ZF. Cuando se añade, el sistema resultante se denomina ZFC, donde la letra \(C\) procede del término inglés Choice.

Durante mucho tiempo se discutió si el Axioma de Elección podía demostrarse a partir de los demás axiomas o si su negación conducía necesariamente a una contradicción. Fraenkel obtuvo en 1922 un resultado precursor utilizando sistemas con urelementos, pero este no constituía todavía una demostración de independencia respecto de ZF puro.

La cuestión sería resuelta mediante los trabajos combinados de Kurt Gödel y Paul Cohen. Gödel demostró que, si ZF es consistente, también lo es ZF junto con el Axioma de Elección. Cohen demostró posteriormente que, si ZF es consistente, también lo es ZF junto con la negación del Axioma de Elección.

Por tanto, suponiendo que ZF sea consistente, el Axioma de Elección no puede demostrarse ni refutarse a partir de los restantes axiomas. ZF y ZFC admiten modelos diferentes y permiten demostrar teoremas distintos.

Los Axiomas de Zermelo-Fraenkel fueron discutidos, ampliados y reformulados repetidamente. En 1930 Zermelo presentó una nueva investigación sobre los dominios de conjuntos y la estructura acumulativa del universo conjuntista. Sin embargo, el sistema empleado actualmente no es simplemente la versión de Zermelo de 1908 o de 1930, sino el resultado de las contribuciones de Zermelo, Fraenkel, Skolem, von Neumann y otros matemáticos.

La axiomatización permitió transformar la Teoría de Conjuntos. Ya no se trataba de decidir intuitivamente qué colecciones podían considerarse conjuntos, sino de estudiar qué objetos y operaciones quedaban legitimados por una estructura formal explícita. Al mismo tiempo, abrió la posibilidad de investigar los propios sistemas axiomáticos: su consistencia, su independencia y los diferentes modelos capaces de satisfacerlos.

Lecturas recomendadas

• Torretti, R. (1998). El paraíso de Cantor: la tradición conjuntista en la filosofía matemática.
• Ferreirós, J. (2007). Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics.
• Zermelo, E. (1908). Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. I.
• Fraenkel, A., Bar-Hillel, Y. y Levy, A. (1973). Foundations of Set Theory.