Paradojas y la Teoría de Tipos

El concepto de Paradoja

Uno de los principios más elementales de cualquier lenguaje formal como puede ser el utilizado en cualquier rama de la matemática es discernir entre teoremas que son ciertos de aquellos que no lo son. Toda expresión matemática cerrada tendrá uno y solo un valor de verdad, verdadero o falso. Las paradojas desafían este principio. Sin entrar en definiciones técnicas, una paradoja o antinomia implica partir de una aseveración que tomamos indudablemente por cierta, pero que termina arrastrándonos a una deducción que parece negarla. La construcción de tal aseveración obliga a atribuirle valores incompatibles, lo que revela un defecto en las premisas o en el lenguaje utilizado.

Paradoja del Mentiroso

Veamos el que posiblemente sea el ejemplo más famoso de paradoja, la Paradoja del Mentiroso o Paradoja de Epiménides. Epiménides era un profeta de la Antigua Grecia. Horrorizado por las blasfemias de los cretenses, clamó que todos ellos eran unos mentirosos. Sin embargo, Epiménides era él mismo natural de Creta, luego su afirmación le concernía a él también.

De forma simplificada, al Paradoja del Mentiroso puede ser enunciada de esta manera: «esto que digo es mentira». Si es cierto y efectivamente es falso, entonces es falso. Si lo tomamos inicialmente por falso ocurre que solo puede ser verdadero.

Las paradojas lógicas

Es habitual distinguir entre dos tipos de paradojas. Las paradojas semánticas, como la que hemos visto del mentiroso, y las paradojas lógico-matematicas. Estas últimas son las que hemos visto en el artículo pasado y atañen a conjuntos y clases: la Paradoja de Russell sobre conjuntos que no se contienen a sí mismos, la Paradoja de Burali-Forti sobre el conjunto de todos los ordinales y la Paradoja de Cantor del conjunto de todos los cardinales. Veremos que ambos tipos de paradojas tienen un origen similar relacionado con la autorreferencia.

Definiciones impredicativas

Las paradojas suponen definiciones problemáticas que incurren en lo que el matemático Henri Poincaré calificó de círculo vicioso. Un círculo vicioso implica una autorreferencia: definir un elemento haciendo alusión a la totalidad de la que forma parte. Definiciones que incurren en un círculo vicioso son conocidas como impredicativas. Una definición predicativa por el contrario establece una independencia entre las propiedades que definen un elemento y el dominio de objetos al que pertenece.

En 1905, Julius König hizo pública una paradoja semántica que utilizaremos aquí para demostrar cómo las definiciones impredicativas pueden generar paradojas.

Paradoja de König

König observó que los números podían ser definidos recurriendo al lenguaje natural haciendo uso de un número finito de palabras, siendo casos de ejemplo «el número siguiente a tres» o «el número que resulta de sumar dos y quince». König llegó a la conclusión que el número de posibles combinaciones finitas de palabras es numerable (el infinito de los números naturales) y por tanto, un subconjunto suyo como el de cadenas que definen de manera unívoca algún número, es también numerable (cardinalidad de  \(\aleph_0\)).

Los descubrimientos de Cantor demostraron que los números reales forman un conjunto de cardinalidad mayor, luego necesariamente habrá números que no puedan ser descritos verbalmente. Sin embargo podemos generar una definición tal que «el mínimo número que no puede ser definido con una cantidad finita de palabras», lo cual es una contradicción pues esta definición contiene un número finito de palabras.

Círculo vicioso

Analizando la Paradoja de König descubrimos claramente el círculo vicioso. «El mínimo número que no puede ser definido con una cantidad finita de palabras» es una definición que presupone una totalidad cerrada de cadenas de palabras. A partir de esta totalidad construimos una propiedad impredicativa al incluir en ella una referencia a la totalidad en la que pretendemos incluirla. De esta autorreferencia surge la paradoja.

La Paradoja de Epiménides contiene también un círculo vicioso. Se parte de una totalidad aparentemente completa, aquello que afirman los cretenses, para luego proponer un nuevo elemento, el cual forma también parte de la totalidad porque Epiménides es también un cretense.

Teoría de Tipos de Russell

El gran número de paradojas que empezaron a descubrirse a inicios del siglo XX obligaron a replantear las propuestas logicistas. Russell hace hincapié en limitar el Principio de Comprensión como solución a las paradojas. Recordemos que este principio afirmaba que toda función proposicional conlleva una clase, o lo que es lo mismo, toda propiedad implica un conjunto (que puede ser vacío) de elementos que cumplen tal propiedad. Sin embargo, dado que existen propiedades paradójicas, Russell sostuvo que algunas funciones proposicionales, concretamente aquellas que son impredicativas, no equivalen a una clase, o al menos, no a una de su mismo orden.

Funciones y proposiciones

Russell distingue entre proposiciones y funciones proposicionales. Define función proposicional como una función que contiene una o varias variables proposicionales, las cuales hacen referencia a un valor indeterminado. Decimos que una función es una expresión insaturada que contiene variables y que no constituye por sí sola una proposición verdadera o falsa. La función se convierte en una proposición cuando esa variable se sustituye por un valor concreto dentro de un determinado rango, un valor que llamaremos término de dicha proposición. A diferencia de las funciones, las proposiciones se consideran enunciados saturados o cerrados, de valor específico.

Rango de significados

Una función, como puede ser «\(x\) es objeto astronómico» no puede recibir cualquier tipo de argumento. Deseamos evitar que resulte en valores como «‘\(x\) es un objeto de más allá de la atmósfera’ es un objeto astronómico» o «‘Júpiter es un objeto de más allá de la atmósfera’ es un objeto astronómico». En el primer caso la función toma como argumento otra función mientras que en el segundo recibe una proposición. En cualquier caso, no tiene sentido discutir si estas expresiones son verdaderas o falsas; simplemente carecen totalmente de sentido y por ello queremos evitarlas en nuestro lenguaje lógico. Sin embargo, sí que podemos abrir la posibilidad a funciones legítimas que toman otras funciones como argumento, por ejemplo «Júpiter es un objeto que satisface las propiedades \(X\)». Los argumentos que recibe una función como esta no pueden ser los mismos que los ejemplos mencionados antes.

Esta distinción justifica la primera de las jerarquías que Russell introduce en su Teoría de Tipos: una función no puede tener cualquier valor como argumento sino que tiene un rango de significado, esto es, un rango de argumentos para los que la función resulta en un valor o proposición legitima, independientemente de si es verdadera o falsa. Dos funciones que compartan un mismo rango de significado, no pueden ser argumentos la una de la otra.

Tipos lógicos

Los tipos forman una jerarquía cuyo nuevo peldaño depende de que los anteriores estén correctamente definidos. En un primer nivel están los individuos \(x\), que no son ni funciones ni proposiciones. Los denotamos con letras como \(a\), \(b\), \(c\) o también con \(x\) e \(y\) cuando queremos referirnos a un individuo cualquiera. Son objetos elementales, sin estructura interna. Forman el primer tipo.

Las funciones cuyos argumentos son individuos son las llamadas funciones proposicionales y expresan propiedades sobre individuos. Estas serían el segundo peldaño de la escalera. Estos son algunos ejemplos:

$$P(x) \quad R(x,y) \quad \forall x\lbrack Q(x,y)\rbrack \quad X(x)$$

Estas funciones dan lugar a nuevas proposiciones cuando sustituimos las variables por objetos determinados. Esto puede realizarse por dos formas. La primera es simplemente asignarle objetos específicos. Así, serían proposiciones cerradas o saturadas \(P(a)\) o \(P(a,b)\). Otra alternativa es ligar un cuantificador a la variable. Por ejemplo, \(\forall x\lbrack Q(x,y)\rbrack\) tendría todavía una variable libre \(y\), pero si la cuantificamos, por ejemplo en \(\forall x \exists y \lbrack Q(x,y)\rbrack\), obtendríamos ahora sí una proposición. La expresión \( \forall x \neg (x \neq x)\) se considera también una proposición cerrada dado que \(x\) está cuantificada. Todas las variables de una proposición deben estar ligadas o con un valor asignado para ser considerada como tal.

El siguiente escalafón serían funciones que atribuyen una propiedad a otras propiedades. Ejemplos de funciones proposicionales del tercer tipo serían:

$$ \phi(X) \quad \rho(X,Y) \quad \forall X \lbrack \theta (X, Y) \rbrack \quad \chi(X) \quad \neg (X \neq X)$$

De nuevo, estas funciones se convertirían en proposiciones sustituyendo las variables por valores determinados:

$$ \phi(P) \quad \rho(P,Q) \quad \forall X \exists Y \lbrack \theta (X, Y) \rbrack \quad \lambda(Q) \quad \forall X \neg (X \neq X)$$

Así obtenemos una sucesión de niveles: individuos, propiedades de individuos, propiedades de propiedades y así sucesivamente.

Como tal estos niveles de tipos ya existían en el sistema lógico propuesto por Frege. La novedad que propone Russell esta destinada a resolver el problema de las definiciones impredicativas y las paradojas consecuentes.

Teoría de Tipos y paradojas

La Paradoja de Russell surge en torno a si se contiene o no la clase que agrupa a todas las clases que no se contienen a sí mismas y en el artículo anterior describimos como:

$$\forall X[(X \in \xi) \leftrightarrow (X \notin X)]$$

La paradoja surge cuando una de esas clases \(X\) es la propia clase \(\xi\), dado que \(\forall X\) refiere a la totalidad de clases. Sin embargo según la Teoría de Tipos \(\xi\) no forma parte del rango de argumentos de sí misma. Se trata de una clase de tipo superior a las clases \(X\). \(\xi\) no se encuentra dentro de la totalidad de clases referida en \(\forall X\) y por tanto sustituirla en la expresión incurre en un sinsentido. Bajo la Teoría de Tipos, un enunciado como \(x \in y\) solo es significativo si \(y\) pertenece a un tipo superior a \(x\).

De la misma manera podría resolverse la Paradoja de Epiménides. La expresión «esto que digo es mentira» alude a una totalidad: «esto que digo». Así que la propia expresión no pertenece a dicha totalidad, debe caer fuera, evitando así la expresión paradójica «’esto que digo es mentira’ es mentira».

Tipos y órdenes

La Teoría de Tipos busca evitar los círculos viciosos y, con ello, bloquear las antinomias debidas a determinadas formas de autorreferencia. El modo en que esto se consigue es impedir que una entidad definida haciendo referencia a una totalidad pueda pertenecer a dicha totalidad. La entidad definida debe situarse en un nivel superior. Para ello es necesario que nuestro lenguaje lógico distinga entre referirse a un objeto cualquiera de cierto dominio y referirse a todos esos objetos como una totalidad ya constituida.

Supongamos que \(\chi(X)\) expresa que la función proposicional \(X\) es una de las propiedades características de cierta clase de individuos. Puesto que \(\chi\) atribuye una propiedad a funciones proposicionales de individuos, se trata de un predicado de segundo tipo. Podríamos definir entonces una propiedad \(P\) de los individuos de la siguiente manera:

$$P(x)\leftrightarrow\forall X\bigl(\chi(X)\rightarrow X(x)\bigr)$$

Esta expresión define una función proposicional de \(x\), pues \(x\) es su única variable libre. Sin embargo, su definición cuantifica sobre una totalidad de funciones proposicionales \(X\). Por tanto, aunque \(P\) se aplique a individuos igual que las funciones \(X\), no puede pertenecer al mismo orden que todas las funciones sobre las que cuantifica. Debe situarse en un orden superior.

Esta distinción permite separar las dos jerarquías que intervienen en la teoría de Russell. El tipo de una función depende del tipo de argumentos que admite. El orden, en cambio, depende de las totalidades de funciones sobre las que cuantifica su definición. Dos funciones pueden aplicarse al mismo tipo de objetos y, sin embargo, pertenecer a órdenes diferentes.

Expresiones predicativas

Dentro de un mismo tipo podemos encontrar funciones pertenecientes a órdenes distintos. Russell denomina función predicativa a aquella que pertenece al orden mínimo compatible con el tipo y el orden de sus argumentos. Esto no significa que una función predicativa deba carecer de cuantificadores. Una función como \(\exists y\,R(x,y)\) puede ser predicativa, aunque cuantifique sobre individuos, siempre que no se defina cuantificando sobre una totalidad de funciones que pudiera incluir a la propia función definida.

Por el contrario, la función \(P(x)\) definida anteriormente mediante

$$P(x)\leftrightarrow\forall X\bigl(\chi(X)\rightarrow X(x)\bigr)$$

no pertenece al orden mínimo de las funciones aplicables a individuos, porque su definición cuantifica sobre funciones proposicionales \(X\) de ese mismo tipo. Se trata, por tanto, de una función de un orden superior.

La misma distinción se reproduce en los niveles siguientes.

Teoría Ramificada de Tipos

La aplicación del principio del círculo vicioso no impide toda referencia a una totalidad de funciones. Lo que impide es utilizar una totalidad para definir una función que deba pertenecer al mismo orden que las funciones contenidas en esa totalidad. Solo es legítimo cuantificar sobre totalidades de funciones previamente constituidas, pertenecientes a órdenes inferiores.

La distinción entre órdenes y tipos genera dos tipo de jerarquías diferentes. Esta jerarquía adicional de órdenes es lo que se conoce como Teoría Ramificada de Tipos.

Russell propone ejemplos cotidianos para ilustrar el problema. Napoleón es un individuo, representado por \(n\), que cumple una serie de propiedades como «\(x\) es un líder flexible», «\(x\) es un militar atrevido» o «\(x\) sabe reconocer las debilidades de sus enemigos». Estas pueden expresarse mediante funciones proposicionales de individuos como \(F(x)\), \(A(x)\) y \(D(x)\).

Sin embargo, una propiedad como «cumplir todas las habilidades que caracterizan a un gran general» hace referencia a una totalidad de propiedades. Si \(\varrho(X)\) expresa que \(X\) es una propiedad característica de un gran general, podemos escribir:

$$G(n)\leftrightarrow\forall X\bigl(\varrho(X)\rightarrow X(n)\bigr)$$

La propiedad \(G\) se aplica a individuos, pero su definición cuantifica sobre propiedades \(X\). Para evitar el círculo vicioso, el cuantificador no puede recorrer una totalidad que incluya a la propia propiedad \(G\). Debe limitarse a propiedades ya definidas y pertenecientes a órdenes inferiores. Por ello, \(G\) se sitúa en un orden superior al de las propiedades \(X\) sobre las que cuantifica.

El Axioma de Reducibilidad

La jerarquía ramificada imponía importantes limitaciones expresivas. Para mitigarlas, Russell propuso el llamado Axioma de Reducibilidad. En términos generales, este axioma afirma que toda función proposicional, cualquiera que sea su orden, es coextensiva con alguna función predicativa del mismo tipo. Ambas funciones tienen el mismo valor de verdad para cada argumento admisible, aunque no posean la misma definición ni expresen necesariamente el mismo contenido.

Si \(P(x)\) es una función de un orden cualquiera, el axioma garantiza la existencia de una función predicativa \(Q(x)\) tal que:

$$\forall x\bigl(P(x)\leftrightarrow Q(x)\bigr)$$

Siguiendo el ejemplo de Napoleón, la propiedad \(G(x)\), definida mediante una cuantificación sobre propiedades, pertenecería a un orden superior. El Axioma de Reducibilidad postula que existe alguna propiedad predicativa \(H(x)\) que selecciona exactamente los mismos individuos:

$$\forall x\bigl(G(x)\leftrightarrow H(x)\bigr)$$

Ambas propiedades son extensionalmente equivalentes: si las representáramos mediante diagramas de Venn, delimitarían la misma región. Sin embargo, no tendrían por qué poseer el mismo significado ni estar definidas mediante los mismos recursos.

El Axioma de Reducibilidad puede interpretarse como una recuperación parcial del efecto extensional del Principio de Comprensión. No afirma directamente que toda propiedad determine una clase autónoma, sino que toda función de orden superior es equivalente, respecto de sus valores de verdad, a una función predicativa. En una notación extensional, esta última puede representarse mediante una expresión como «\(x\) pertenece a \(\alpha\)», donde \(\alpha\) recoge los objetos que satisfacen la función. En Principia Mathematica, sin embargo, las expresiones de clase se tratan contextualmente y no como nombres de objetos independientes.

Problemas con la Teoría de Tipos

La Teoría Ramificada de Tipos de Russell fue recibida con escepticismo. La primera jerarquía distinguía las funciones según el tipo de argumentos que admitían. La segunda las reorganizaba en órdenes diferentes atendiendo a las variables funcionales sobre las que cuantificaban sus definiciones. Algunos críticos consideraron que esta ramificación era una solución excesivamente compleja y ad hoc para hacer frente a las paradojas recién descubiertas.

La inclusión del Axioma de Reducibilidad tampoco convenció. Russell introducía primero una jerarquía de órdenes para evitar los círculos viciosos, pero después postulaba que toda función de orden superior era coextensiva con alguna función predicativa. El axioma no eliminaba formalmente la jerarquía, pero hacía que muchas de sus distinciones fueran irrelevantes desde un punto de vista extensional. Parecía recuperar mediante un postulado aquello que el principio del círculo vicioso había restringido.

Russell defendió su propuesta advirtiendo que algunos principios fundamentales de la lógica y de la matemática utilizan cuantificaciones impredicativas. Así ocurre con ciertas formulaciones del Principio de Inducción, central para la aritmética:

$$\bigl(P(0)\land\forall n\bigl(P(n)\rightarrow P(n+1)\bigr)\bigr)\rightarrow\forall n\,P(n)$$

Esta formulación pretende aplicarse a cualquier propiedad \(P\), incluidas propiedades cuya definición pueda cuantificar sobre totalidades de propiedades. La ramificación obliga a precisar a qué orden pertenece la variable \(P\).

Algo similar ocurre con la caracterización de la identidad mediante la indiscernibilidad de las propiedades. Dos objetos \(x\) e \(y\) son idénticos si y solo si satisfacen exactamente las mismas propiedades:

$$x=y\leftrightarrow\forall X\bigl(X(x)\leftrightarrow X(y)\bigr)$$

También aquí se cuantifica sobre una totalidad de propiedades \(X\), por lo que la teoría ramificada debe determinar qué órdenes de propiedades están incluidos en esa totalidad.

Conclusión

La Teoría de Tipos de Russell, construida para resolver las numerosas paradojas surgidas en la lógica y en la teoría ingenua de clases —incluida la contradicción que afectaba al sistema de Frege—, no disipó las dudas que se cernían sobre la viabilidad del proyecto logicista. La obra de Russell pretendía, como antes había intentado Frege, integrar en un mismo marco teórico la perspectiva intensional propia de la lógica con la perspectiva extensional o conjuntista a la que dedicamos los primeros artículos de esta serie.

La perspectiva intensional atiende a las propiedades y al modo en que están definidas. La perspectiva extensional, en cambio, atiende a los objetos que satisfacen esas propiedades. El Axioma de Reducibilidad era la herramienta propuesta por Russell para relacionar ambos planos: toda propiedad, por compleja e impredicativa que fuese su definición, debía ser coextensiva con alguna propiedad predicativa.

La propuesta no cerró el debate. Russell manifestó posteriormente importantes reservas acerca del Axioma de Reducibilidad, mientras que buena parte del desarrollo posterior tendió a sustituir la teoría ramificada por teorías de tipos más sencillas. La ramificación perdió así gran parte de su papel central, aunque la distinción entre niveles lógicos continuó siendo una herramienta fundamental.

La Teoría de Tipos introduce una cuestión que será relevante en los artículos posteriores: la de los límites expresivos de los sistemas lógicos. La lógica aspira a una gran generalidad y puede aplicarse al razonamiento cotidiano, al trabajo científico o incluso a sistemas puramente imaginarios. Sin embargo, las paradojas muestran que ciertos recursos no pueden utilizarse de manera irrestricta sin poner en peligro la consistencia.

El lenguaje natural permite formular con facilidad expresiones autorreferenciales y referencias aparentemente irrestrictas a «todas las cosas» o «todos los enunciados». Esta flexibilidad no implica que posea capacidades lógicas superiores: viene acompañada de ambigüedades que los lenguajes formales intentan evitar. La Teoría de Tipos muestra cómo un lenguaje lógico puede sacrificar parte de esa flexibilidad para ganar precisión y controlar la aparición de contradicciones.

Lecturas Recomendadas

— Russell, B. (1908) Mathematical Logic as based on the Theory of Types.

— Russell, B y Whitehead, A. N. (1925-1927) Principia Mathematica. Quinta edición.