La Teoría de la Prueba

¿Qué es la Teoría de la Prueba?

Toda demostración matemática comienza con unos supuestos a partir de los cuales, haciendo uso de una argumentación extremadamente precisa, derivamos un enunciado con suficiente seguridad. Todo ello conforma una prueba del enunciado. El objetivo de Hilbert era ofrecer una definición rigurosa de esta prueba matemática, a partir de la cual investigar la naturaleza y las propiedades del conocimiento que adquirimos haciendo uso de ella. Si, dirigiendo nuestro interés científico hacia las pruebas, podemos demostrar que su uso da forma a un sistema consistente, carente de contradicciones, entonces seremos capaces de disipar las dudas acerca de posibles paradojas en algunos de los campos más fértiles de la Matemática.

Matemática formal

Hilbert afirma que toda rama de la Matemática puede ser concebida como una estructura de fórmulas que expresan nuestros conocimientos del campo. Así, un enunciado como «dos números iguales comparten un mismo antecesor» podemos traducirlo a una fórmula como \((a=b)\rightarrow(\delta(a)=\delta(b))\). Este procedimiento permite traducir el contenido de los enunciados, es decir, su comprensión intuitiva, en un conjunto ordenado de símbolos.

Estas fórmulas son, por sí mismas, objetos de estudio. En la Teoría de la Prueba, la deducción basada en el significado es sustituida dentro del sistema formal por la manipulación de símbolos. Comenzando por fórmulas elementales y aplicando reglas deductivas que especifican con total precisión cómo debe llevarse a cabo dicha manipulación simbólica, podemos generar nuevas fórmulas que reflejen nuevos contenidos matemáticos.

Así, toda fórmula demostrable es el resultado de aplicar un número finito de veces las reglas de inferencia, teniendo uno o varios axiomas como punto de partida. No toda fórmula bien formada es, por ello, un teorema. Una demostración es una sucesión finita de fórmulas: cada una de ellas es un axioma, una instancia obtenida por sustitución o una consecuencia de fórmulas anteriores mediante una regla de inferencia. La última fórmula es el enunciado demostrado. En palabras de Hilbert, convertimos una teoría matemática en un inventario de fórmulas.

Metamatemática

Una vez formalizada una teoría matemática como una estructura de fórmulas, la Teoría de la Prueba plantea estudiar las propiedades de esa estructura, como puede ser su consistencia. Así, para Hilbert, la ciencia matemática alterna entre dos formas de investigación: una formal, limitada a la manipulación de símbolos de acuerdo con reglas explícitas, y otra fundamentada en el contenido significativo y en nuestra comprensión intuitiva de objetos finitos.

Esta última es la Metamatemática a la que recurre Hilbert para demostrar la consistencia de la Matemática formalizada. La Metamatemática no forma parte del sistema que pretende estudiar, pero no por ello puede recurrir a cualquier razonamiento. Hilbert exige que sus demostraciones utilicen procedimientos finitistas: operaciones elementales sobre signos y sucesiones finitas de signos cuya corrección pueda reconocerse directamente. Veremos en este artículo los diferentes mecanismos de deducción que operan en ambos niveles.

El problema de la consistencia

En la lógica clásica, un sistema inconsistente permite derivar cualquier fórmula. Este es el principio ex falso quodlibet. El esquema básico de una contradicción es el siguiente:

$$A\land\neg A$$

Supongamos que hemos demostrado tanto \(A\) como \(\neg A\). El cálculo proposicional incluye el esquema:

$$A\rightarrow(\neg A\rightarrow B)$$

Aplicando dos veces la regla de modus ponens, primero obtenemos \(\neg A\rightarrow B\) y después \(B\), sea cual sea la fórmula \(B\). Por tanto, en una lógica explosiva, una sola contradicción permite demostrar cualquier enunciado.

En otras palabras, o bien el sistema es consistente o, si contiene una contradicción, todas sus fórmulas resultan demostrables. Una sola contradicción y el sistema se derrumba. Hilbert recurre a una expresión contradictoria concreta: \(0\neq0\). La Teoría de la Prueba pretende, pues, demostrar metamatemáticamente que \(0\neq0\) es indemostrable en un sistema axiomático que formalice la Aritmética.

El sistema formal de la Aritmética

El primer paso de la Teoría de la Prueba y de la demostración de la consistencia de la Aritmética es, como hemos indicado, convertir esta rama de la Matemática en un conjunto de fórmulas o cadenas de símbolos. Para ello es necesario un lenguaje que determine los posibles símbolos, las formas legítimas de combinarlos y las reglas para obtener nuevas expresiones. Todo ello debe reflejar nuestra comprensión intuitiva de la naturaleza de los números.

El lenguaje de la Aritmética

El primer paso para construir este repertorio de fórmulas que refleje los principios de la Aritmética será determinar qué signos estarán incluidos y cómo pueden combinarse entre sí.

Estos incluyen signos numéricos (\(2\), \(15\), etc.), así como funciones (\(f(*)\), \(g(*)\), etc.) que pueden ser completadas por otros signos numéricos o funcionales. También se incorporan signos para designar estos objetos de forma indeterminada, es decir, variables: letras latinas (\(a\), \(b\), \(c\), etc.) para los signos numéricos y letras griegas (\(\psi(*)\), \(\varphi(*)\), \(\mu(*)\), etc.) para las funciones. Todos ellos conforman los términos del lenguaje.

Cuando colocamos dos de estos términos a ambos lados del símbolo \(=\) o \(\neq\), obtenemos una fórmula elemental, lo que coloquialmente denominamos una ecuación o una inecuación. En el sistema de Hilbert se incluyen también los signos \(\rightarrow\) y \(\neg\), que, aplicados a fórmulas elementales, permiten formar fórmulas más complejas. El sistema ofrece igualmente la posibilidad de utilizar variables que representen fórmulas completas. Para ellas recurriremos a letras latinas mayúsculas (\(A\), \(B\), etc.).

Los axiomas de la Aritmética

A lo largo de los años veinte, durante los que Hilbert desarrolló su Teoría de la Prueba, los sistemas axiomáticos que presentó fueron variando con cada nueva publicación. Aquí reproduciremos el núcleo del sistema que aparece en el artículo «Los fundamentos lógicos de las matemáticas», publicado en 1923, año en que la Teoría de la Prueba había alcanzado ya un cierto grado de madurez.

Presentaremos diez axiomas que combinan principios propios de la Lógica Proposicional y de la Aritmética. Los seis primeros axiomas establecen el uso de los símbolos lógicos de implicación \(\rightarrow\) y negación \(\neg\). Los cuatro últimos son propios de la Aritmética y regulan los signos \(=\) y \(\neq\), así como la función \(\delta(*)\), que podemos interpretar como «antecesor de».

I \(A\rightarrow(B\rightarrow A)\)

II \((A\rightarrow(A\rightarrow B))\rightarrow(A\rightarrow B)\)

III \((A\rightarrow(B\rightarrow C))\rightarrow(B\rightarrow(A\rightarrow C))\)

IV \((B\rightarrow C)\rightarrow((A\rightarrow B)\rightarrow(A\rightarrow C))\)

V \(A\rightarrow(\neg A\rightarrow B)\)

VI \((A\rightarrow B)\rightarrow((\neg A\rightarrow B)\rightarrow B)\)

VII \(a=a\)

VIII \((a=b)\rightarrow(A(a)\rightarrow A(b))\)

IX \(a+1\neq0\)

X \(\delta(a+1)=a\)

Sustitución

¿Cómo generar nuevas fórmulas a partir de estos axiomas? Hilbert establece dos procedimientos diferentes. El primero consiste en sustituir las variables por términos determinados. Así, del axioma VII, \(a=a\), podemos obtener por sustitución la ecuación \(1=1\) o la fórmula \(\delta(a)=\delta(a)\).

Como ejemplo del funcionamiento de las sustituciones podemos recurrir a los axiomas III y VIII. Si en el axioma III sustituimos \(A\) por \(a=b\), \(B\) por \(A(a)\) y \(C\) por \(A(b)\), obtenemos:

$$\bigl((a=b)\rightarrow(A(a)\rightarrow A(b))\bigr)\rightarrow\bigl(A(a)\rightarrow((a=b)\rightarrow A(b))\bigr)$$

Esta nueva fórmula es una instancia del axioma III obtenida exclusivamente por sustitución.

Modus Ponens

El segundo procedimiento consiste en seguir el esquema de inferencia conocido como modus ponens, el cual, recurriendo a letras góticas para denotar fórmulas cualesquiera de nuestro lenguaje, se expresa como:

$$\frac{\mathfrak{A}\qquad\mathfrak{A}\rightarrow\mathfrak{B}}{\mathfrak{B}}$$

En lenguaje ordinario, esto quiere decir que, si la fórmula \(\mathfrak{A}\) está demostrada y también está demostrada la implicación \(\mathfrak{A}\rightarrow\mathfrak{B}\), entonces podemos demostrar \(\mathfrak{B}\). Las expresiones situadas por encima de la línea se conocen como premisas, y la situada debajo, como conclusión o fórmula final.

Nótese el uso de letras góticas. Esto es así porque este esquema de inferencia no es una fórmula del sistema aritmético, sino una expresión metamatemática a la que recurrimos para describir el procedimiento mediante el cual se generan nuevas fórmulas en el sistema.

Continuando con el ejemplo, disponemos en primer lugar del axioma VIII:

$$(a=b)\rightarrow(A(a)\rightarrow A(b))$$

Y de la instancia del axioma III obtenida anteriormente:

$$\bigl((a=b)\rightarrow(A(a)\rightarrow A(b))\bigr)\rightarrow\bigl(A(a)\rightarrow((a=b)\rightarrow A(b))\bigr)$$

Aplicando modus ponens, obtenemos:

$$A(a)\rightarrow((a=b)\rightarrow A(b))$$

Esta última fórmula queda, pues, demostrada.

Aritmética transfinita

Los axiomas anteriormente expuestos permiten formalizar una parte elemental de la Aritmética, aunque para desarrollar la teoría completa de los números naturales deben añadirse principios de inducción y reglas para definir funciones por recursión. En cualquier caso, este lenguaje resulta todavía insuficiente si buscamos extender la Teoría de la Prueba al Análisis y a los números reales.

Podemos constatar que entre los axiomas anteriores no aparecen cuantificadores, es decir, signos que permitan realizar afirmaciones concernientes a todos los objetos de un dominio o a la existencia de alguno de ellos. Sin embargo, recordemos, a partir de los artículos dedicados a Cantor y Dedekind, que la definición de los números irracionales y del continuo exige operar con sucesiones y conjuntos infinitos de números racionales.

Razonamientos transfinitos

Necesitamos introducir una herramienta que nos permita reflejar, mediante operaciones finitas con símbolos, los razonamientos aplicados a colecciones infinitas propios de la Aritmética y el Análisis. El recurso habitual era el uso de los cuantificadores «para todo» \(\forall\) y «existe un» \(\exists\).

Como hemos repetido varias veces a lo largo de esta serie, existe una diferencia entre incluir una fórmula abierta como \(a=a\), que permite sustituir \(a\) por cualquier término, y afirmar explícitamente:

$$\forall a\lbrack a=a\rbrack$$

Esta última fórmula sigue siendo una expresión finita, pero afirma algo acerca de una totalidad infinita. Hilbert, como tantos otros antes que él, había advertido acerca del riesgo de extender sin justificación las formas de razonamiento propias de las colecciones finitas a las totalidades infinitas.

Principio del Tercero Excluido

El Principio del Tercero Excluido, o tertium non datur, afirma que, dada una proposición \(A\), se cumple \(A\lor\neg A\). Aplicado a una propiedad definida sobre una colección de objetos, permite afirmar:

$$\forall a\,A(a)\lor\exists a\,\neg A(a)$$

Es un principio poco problemático para colecciones finitas y propiedades decidibles: podemos examinar todos los objetos y concluir que la propiedad se cumple en cada uno o encontrar un contraejemplo.

La situación cambia al aplicarlo a colecciones infinitas. Si recorremos sucesivamente los números naturales y existe un número que no satisface \(A\), una búsqueda sistemática terminará encontrándolo. Pero, si todos los números satisfacen \(A\), la búsqueda de un contraejemplo no alcanzará por sí sola una etapa final que nos permita constatarlo.

A pesar de la polémica que rodeaba al Principio del Tercero Excluido, Hilbert no buscaba tanto resolver todas sus repercusiones filosóficas como demostrar que su inclusión en la matemática formal no suponía ninguna amenaza para su consistencia. Este era uno de los objetivos de su Teoría de la Prueba.

Función transfinita

Hilbert plantea un nuevo operador que representa la búsqueda de un posible contraejemplo para una propiedad, tanto si el dominio es finito como si es infinito. Tal operador es conocido como función transfinita \(\tau(*)\). Podemos entender \(\tau(A)\) como un «operador buscador de contraejemplos»: si existe algún objeto para el que la propiedad \(A\) no se cumple, \(\tau(A)\) debe seleccionar uno; si no existe ninguno, puede designar un objeto arbitrario.

En palabras del propio Hilbert: «Tomemos por \(A\) el predicado “sobornable”. Entonces \(\tau(A)\) sería un hombre definido con un sentido de la justicia tan firme que, si resultara ser sobornable, entonces, de hecho, todos los hombres serían sobornables».

Así, \(\tau(A)\) representa el supuesto contraejemplo a la propiedad \(A\). Si la propiedad se cumple incluso para este posible contraejemplo, entonces se cumple para todos los objetos:

$$A(\tau(A))\rightarrow A(a)$$

Podemos recurrir a \(\tau(*)\) para construir expresiones equivalentes a las que nos ofrecen los cuantificadores de la lógica de primer orden:

$$A(\tau(A))\equiv\forall a\lbrack A(a)\rbrack$$

$$A(\tau(\neg A))\equiv\exists a\lbrack A(a)\rbrack$$

En la segunda expresión, \(\tau(\neg A)\) busca un contraejemplo para la propiedad \(\neg A\); es decir, busca un objeto que satisfaga \(A\).

Axioma transfinito

La función transfinita se incorpora al sistema formal mediante un nuevo axioma que se suma a los diez anteriores y que se conoce como Axioma Transfinito. Supongamos una función numérica \(f\) y consideremos la propiedad \(f(a)=0\). El término \(\tau(f)\) representa un posible contraejemplo a esa propiedad. Si existe algún número \(a\) para el que \(f(a)\neq0\), \(\tau(f)\) debe designar uno de esos números. Si no existe ningún contraejemplo, el valor elegido resulta irrelevante.

Por tanto, podemos interpretar:

$$f(\tau(f))=0\equiv\forall a\lbrack f(a)=0\rbrack$$

$$f(\tau(f))\neq0\rightarrow\exists a\lbrack f(a)\neq0\rbrack$$

Si la función devuelve \(0\) incluso al aplicarse al posible contraejemplo \(\tau(f)\), entonces devuelve \(0\) para cualquier número \(a\). Así aparece el nuevo axioma que incorpora Hilbert:

XI \((f(\tau(f))=0)\rightarrow(f(a)=0)\)

Debe quedar claro que este axioma no proporciona necesariamente un procedimiento efectivo para decidir en un número finito de pasos si \(f(a)=0\) se cumple para todos los números. Su función es introducir dentro del sistema formal el razonamiento clásico sobre el tertium non datur aplicado a totalidades infinitas.

Cálculo de Épsilon en la Teoría de la Prueba

Hilbert y Bernays reemplazaron pronto el operador detector de contraejemplos \(\tau(*)\) por su operador dual, el «operador testigo» \(\varepsilon(*)\) —épsilon—. Wilhelm Ackermann, discípulo de Hilbert, desarrollaría posteriormente el procedimiento de sustitución destinado a eliminar estos operadores de las demostraciones.

Los principios que motivan el cálculo \(\varepsilon\) están estrechamente relacionados con el Principio del Tercero Excluido y con el Axioma de Elección. Gracias a este operador se logra una mayor simplicidad en el sistema formal lógico-aritmético sin perder capacidades expresivas.

\(\varepsilon A\) designa un objeto que satisface la propiedad \(A\), si existe alguno. Si ningún objeto la satisface, el término puede designar un objeto arbitrario. Al igual que \(\tau(*)\), es posible utilizarlo para sustituir los cuantificadores:

$$\forall a\lbrack A(a) \rbrack \equiv A(\varepsilon\neg A)$$

$$\exists a\lbrack A(a) \rbrack \equiv A(\varepsilon A)$$

El Axioma Transfinito adopta entonces la forma:

$$A(x)\rightarrow A(\varepsilon A)$$

Esta fórmula afirma que, si algún objeto \(x\) satisface \(A\), entonces también la satisface el objeto seleccionado por \(\varepsilon A\).

Conclusión

Hilbert esbozó durante la primera mitad de la década de 1920 una estrategia para demostrar la consistencia de los sistemas que contenían operadores transfinitos. Los resultados positivos alcanzados en sus primeros trabajos afectaban principalmente a formalismos sin variables cuantificadas ni operadores transfinitos, demasiado débiles todavía para recoger la práctica matemática del Análisis.

El problema se volvió mucho más complejo porque, para extender el sistema axiomático al Análisis, era necesario introducir variables funcionales y operadores \(\varepsilon\) de segundo orden. Estos recursos cumplían un papel semejante al del Principio de Comprensión y exigían controlar dependencias mucho más complejas entre los términos.

En 1924 Ackermann creyó haber ofrecido una demostración de consistencia para el formalismo completo del Análisis. Sin embargo, pronto se advirtió que su argumento era incompleto y que solo funcionaba al imponer restricciones que reducían considerablemente la fuerza del sistema.

Von Neumann presentó en 1927 una demostración más rigurosa para una parte de la Aritmética de primer orden, con la inducción restringida a fórmulas sin cuantificadores. Su resultado mejoraba las técnicas anteriores, pero tampoco alcanzaba la consistencia del Análisis completo que ambicionaba el Programa de Hilbert.

De todas formas, hacia 1930 la consistencia de los sistemas suficientemente potentes para formalizar la Aritmética avanzada y el Análisis seguía siendo un asunto sin dilucidar.

Lecturas recomendadas

– Hilbert, D. (1923). The Logical Foundations of Mathematics.