El Programa de Hilbert

David Hilbert

David Hilbert era ya un respetadísimo matemático a finales del siglo XIX. Desde la Universidad de Gotinga, que tantos eruditos había acogido y seguía acogiendo, Hilbert se convirtió en una de las figuras más destacadas de la matemática alemana y, en consecuencia, del mundo.

Un científico de su categoría no podía ignorar la corriente fundacional que recorría la Matemática durante las décadas de 1880 y 1890 y, como no podía ser de otra manera, se unió a ella. En 1899 Hilbert publicó una de sus grandes obras: Grundlagen der Geometrie o Fundamentos de la Geometría. Hilbert retomaba el viejo proyecto de Euclides de fundamentar los principios de la Geometría.

El empleo del método axiomático no era realmente novedoso. Al igual que Euclides más de dos mil años antes, el alemán hacía uso de una serie finita de axiomas o principios fundamentales sobre los que sustentar toda una teoría matemática. Tales axiomas eran las bases desde las que se deducían los teoremas característicos de la Geometría. Hilbert estudió además la independencia de los distintos axiomas, es decir, si alguno podía ser deducido a partir de los demás.

La gran novedad de Hilbert residía en la precisión y abstracción con la que aplicaba este método. Los términos fundamentales, como «punto», «recta» o «plano», no necesitaban poseer de antemano un significado intuitivo determinado: quedaban caracterizados por las relaciones establecidas en los axiomas.

Con los años Hilbert perfeccionaría este método, considerándolo como la forma más sistemática y rigurosa de presentar una rama de la Matemática. Si bien su interés por los fundamentos de la Aritmética surgió en los últimos años del siglo XIX, fue durante la década de 1920 cuando su proyecto cobró forma con el debido rigor y profundidad.

El Programa de Hilbert

Una vez que Hilbert había conseguido ofrecer una fundamentación formal y precisa de la Geometría, se abría ante él la necesidad de exportar su método axiomático a otras ramas de la Matemática. La demostración de la consistencia de su sistema geométrico descansaba sobre supuestos aritméticos: cualquier contradicción en la Geometría habría podido traducirse en una contradicción dentro de la Aritmética.

El paso siguiente obligado era, por tanto, una fundamentación igualmente formal y precisa de la Aritmética. Pero estos mismos supuestos aritméticos ya no podían utilizarse para demostrar su propia consistencia bajo pena de incurrir en un razonamiento circular. Debía tomarse otro camino y, durante los primeros años del siglo, Hilbert realizó distintos intentos de ofrecer una solución. Al igual que Frege en su día, se enfrentaba a la tarea de proporcionar una fundamentación rigurosa de la Aritmética y, a través de ella, de amplias partes de la Matemática. Este sería el objetivo del Programa de Hilbert.

El formalismo de Hilbert

A diferencia de la perspectiva de Frege y Russell, Hilbert consideraba que una exposición rigurosa de la Matemática requería ciertas nociones y objetos elementales dados al pensamiento de forma intuitiva. Los principios lógicos no podían servir por sí solos como fundamento si no se aplicaban sobre objetos concretos y directamente reconocibles, como signos finitos y sucesiones de signos. Hilbert se distanciaba así del proyecto logicista estricto.

Aun reconociendo que las bases más elementales de la Matemática descansan en nuestra comprensión intuitiva, Hilbert insistía en que no podíamos quedarnos ahí y que era necesario un método suficientemente refinado para su estudio. Era imprescindible formalizar el razonamiento matemático, de manera que alcanzase los estándares más altos de precisión y rigor.

Los axiomas que sustentaban una teoría debían formular de manera explícita las formas en que las nociones primitivas podían y no podían relacionarse entre sí. Las reglas de inferencia debían indicar también qué transformaciones podían efectuarse legítimamente sobre las fórmulas.

Esta insistencia en el rigor sería el sello característico de la producción científica de Hilbert, hasta el punto de que sus críticos llegarían a reprocharle, de forma quizá exagerada, haber reducido el razonamiento matemático a un simple juego ciego de manipulación de símbolos. Sin embargo, Hilbert no afirmaba que toda la Matemática careciera de significado: distinguía entre una parte elemental e intuitiva y otra parte ideal, cuya legitimidad debía garantizarse mediante una demostración de consistencia.

El método axiomático

Toda teoría científica, incluso fuera del campo matemático, puede concebirse como una estructura conceptual formada por un conjunto de proposiciones relacionadas entre sí de acuerdo con principios lógicos. Hilbert señalaba que, entre estas proposiciones, existen algunas a partir de las cuales puede reconstruirse el sistema completo. Estos son los axiomas de dicha teoría: proposiciones que no se demuestran dentro del sistema, pero a partir de las cuales se demuestra el resto de sus proposiciones.

– El procedimiento del método axiomático, tal como se expresa aquí, equivale a una profundización de los cimientos de los dominios del conocimiento, una profundización que es necesaria para cualquier edificio que uno desee expandir y erigir más alto mientras preserva su estabilidad. –

– David Hilbert. Axiomatisches Denken. 1918.

Estos axiomas debían someterse a un estudio exhaustivo que revelase si satisfacían o no distintas exigencias. Entre ellas destacaban que fueran independientes entre sí, es decir, que ninguno pudiera deducirse a partir de los demás, y que fueran consistentes, esto es, que no permitieran derivar contradicciones.

Respecto a este último requerimiento, puede ponerse como ejemplo el sistema axiomático elaborado por Zermelo para la Teoría de Conjuntos. Esta disciplina se encontraba afectada por paradojas como la de Burali-Forti, relacionada con la supuesta totalidad de todos los ordinales. Los axiomas de Zermelo restringían las operaciones de formación de conjuntos y evitaban las paradojas conocidas.

Sin embargo, una cosa era bloquear las contradicciones ya descubiertas y otra demostrar que ninguna contradicción podía alcanzarse a partir de los axiomas. Hilbert tampoco había ofrecido una demostración absoluta de la consistencia de la Geometría: había reducido su consistencia a la de la Aritmética. La nueva exigencia consistía en demostrar la consistencia de la propia Aritmética sin presuponer métodos cuya legitimidad dependiera de ella.

La consistencia de la Aritmética

El Programa de Hilbert encaró la cuestión desde una perspectiva hasta cierto punto novedosa. El problema de los fundamentos debía plantearse principalmente como un problema de consistencia: dada una serie de axiomas de la Aritmética, había que demostrar que no era posible deducir a partir de ellos una proposición y su negación.

Hilbert vinculó estrechamente la existencia matemática con la consistencia. Si los axiomas que caracterizan una determinada clase de objetos no conducen a contradicción, esos objetos pueden considerarse matemáticamente legítimos dentro de la teoría. Si el sistema permite derivar una contradicción, no constituye una teoría matemática aceptable.

Pero no bastaba con formalizar los axiomas y declarar que parecían consistentes. Era necesario ofrecer una demostración de consistencia mediante procedimientos finitistas: razonamientos elementales aplicados a signos y configuraciones finitas, cuya corrección pudiera reconocerse directamente.

Una teoría formalizada transforma las proposiciones y demostraciones matemáticas en sucesiones finitas de signos. El objetivo era demostrar, estudiando esas sucesiones como objetos matemáticos, que ninguna de ellas podía constituir una demostración de una contradicción, como \(0=1\).

A diferencia de otros matemáticos contemporáneos, Hilbert se mantuvo fiel a los descubrimientos de Cantor. Los números transfinitos, el continuo y los métodos no constructivos debían conservarse dentro de la matemática clásica. No era necesario construir intuitivamente cada uno de sus objetos, como exigía Brouwer, siempre que pudiera demostrarse que su uso no conducía a contradicción.

La consistencia buscada por Hilbert no afectaba únicamente a la Aritmética elemental. El proyecto aspiraba a justificar también el Análisis y aquellas partes de la Teoría de Conjuntos empleadas por la matemática clásica. Los objetos infinitos podían formar parte de esa matemática ideal, siempre que su incorporación resultara segura.

En resumen, el Programa de Hilbert puede condensarse en dos objetivos: por un lado, la sistematización de las teorías matemáticas mediante axiomas y reglas de inferencia rigurosamente definidos; por otro, la demostración finitista de que esos sistemas formales son consistentes y no permiten deducir contradicciones.

Metamatemática y el Programa de Hilbert

Esta propuesta para fundamentar las matemáticas redirige el foco de atención desde el contenido de una teoría hacia la estructura formal de proposiciones, axiomas y demostraciones que la componen. Podemos entonces plantearnos preguntas acerca de esa estructura: ¿es consistente, es decir, está libre de contradicciones? ¿Es completa, de modo que para cada proposición formulable en el sistema pueda demostrarse ella o su negación? ¿Es decidible, es decir, existe un procedimiento efectivo que permita determinar en un número finito de pasos si una fórmula es o no un teorema?

Para una exposición más extensa de este tipo de metapropiedades recomendamos el siguiente artículo de la serie de Lógica Matemática.

Aunque este tipo de cuestiones ya había ocupado la atención de numerosos matemáticos, Hilbert y su escuela las sistematizaron dentro de un nuevo campo de estudio conocido como Metamatemática. Hilbert reconoció que muchas de las discusiones más profundas acerca de los fundamentos pasaban por resolver propiedades generales de las teorías matemáticas, y no únicamente problemas internos de una disciplina particular.

La Metamatemática distingue así entre dos niveles. En el primero se encuentra la teoría matemática formalizada, con sus signos, axiomas y reglas. En el segundo estudiamos esa teoría como un objeto: examinamos sus fórmulas, sus demostraciones y las propiedades del sistema completo.

La Teoría de la Prueba

La Metamatemática surge de manera natural una vez que una rama del conocimiento ha sido formalizada dentro de un marco en el que todas las proposiciones se derivan de acuerdo con reglas de deducción explícitas. Sin abandonar el descubrimiento de nuevos teoremas, podemos tomar como nuevo objeto de estudio el propio mecanismo de demostración.

Una demostración formal puede representarse como una sucesión finita de fórmulas. Cada fórmula debe ser un axioma o proceder de fórmulas anteriores mediante alguna regla de inferencia admitida. Podemos entonces plantear preguntas precisas: ¿cómo podemos asegurarnos de que los teoremas alcanzados son compatibles con el resto de la teoría? ¿Podemos saber si existen proposiciones que nuestro sistema no sea capaz de demostrar? ¿Existe un método que permita reconocer todas las demostraciones correctas?

Estas y otras cuestiones son las que Hilbert situó entre las grandes incógnitas que debían resolverse para asegurar los fundamentos de la Matemática. Si conseguíamos demostrar mediante métodos finitistas que las reglas de deducción aplicadas a los axiomas nunca producen una contradicción, habríamos justificado el uso de la teoría formal, tal y como ambicionaba el Programa de Hilbert.

La Teoría de la Prueba, el estudio matemático de las demostraciones formales, será el tema de nuestro próximo artículo.

Lecturas recomendadas

– Hilbert, D. (1900). Mathematische Probleme («Problemas matemáticos»).

– Hilbert, D. (1918). Axiomatisches Denken («Pensamiento axiomático»).

– Hilbert, D. (1922). Neubegründung der Mathematik. Erste Mitteilung («Nueva fundamentación de la Matemática. Primera comunicación»).

– Hilbert, D. (1926). Über das Unendliche («Sobre el infinito»).