El logicismo

El debate de los fundamentos

Hasta ahora en esta serie recorrimos la Teoría de Conjuntos cantoriana y mencionamos de pasada el debate acerca de los fundamentos de la Matemática que tuvo lugar a finales del siglo XIX y principios del XX. En lo que resta de serie, este debate será el fondo sobre el que se desplieguen el resto de temas que abarquemos, incluido el origen del logicismo que trataremos en este mismo texto. Nos encontraremos con diferentes aproximaciones propuestas ante una serie de preguntas: ¿De dónde proceden las matemáticas? ¿Cómo podemos cimentar la verdad prístina y exacta de la que hacen gala los teoremas matemáticos?

Este tipo de cuestiones acerca de la naturaleza de la verdad matemática han ocupado la mente de los filósofos desde hace miles de años. Es por ello necesario explicar el por qué surge este debate delimitado en esta pequeña y precisa franja temporal de la historia moderna y el papel que jugó el logicismo en él.

Kant

Consideramos que un buen punto de partida para comprender el debate en torno a la naturaleza de la Matemática, no solo desde el logicismo sino desde el resto de corrientes que surgieron alrededor de dicho debate, es Kant. Las diferentes corrientes que surgieron al calor de este debate aluden, de una forma u otra, a nociones kantianas.

Para el prusiano nuestra facultad sensible nos provee de «intuiciones» (Anschauungen) o representaciones inmediatas, el nexo de unión entre nuestro intelecto y los objetos. Tales intuiciones son unidades indivisibles y no forman por ellas mismas nuestro pensamiento. Los pensamientos como tales surgen de los «conceptos» (Begriffe), que nos permiten mediar con las intuiciones vía alguna propiedad común que estas compartan. Las intuiciones por tanto aportan el contenido material de nuestros pensamientos, mientras que los conceptos nos permiten manipularlas intelectivamente.

La postura novedosa que ofrece Kant y que rompe con la dualidad empirismo-racionalismo de autores anteriores es la defensa de la experiencia sensible organiza de forma inmediata nuestra aprehensión del mundo. El conocimiento no procede simplemente de los objetos tal como estos se nos dan. Para que algo pueda aparecer ante nosotros como objeto de experiencia, debe hacerlo ya bajo ciertas condiciones previas de nuestra sensibilidad. Esas condiciones son el espacio y el tiempo: no rasgos que extraigamos de las cosas, sino formas puras mediante las cuales ordenamos de manera inmediata todo aquello que se nos presenta.

Juicios analíticos

Los conceptos requieren de intuiciones sustentadas en la experiencia sensible para dar forma a los pensamientos. Sin embargo, Kant afirma que es posible emitir juicios acerca de los conceptos per se. Tales juicios son los que Kant denominaba analíticos o también tautológicos: afirmaciones evidentes contenidas en el propio concepto. Kant nos pone como ejemplo la proposición «los cuerpos tienen volumen». La propiedad «tener volumen» es precisamente lo que define a los cuerpos, y por tanto, tal juicio no amplía el concepto original.

Los juicios analíticos, aunque verdades de necesidad, no amplían nuestro conocimiento al no permitir afirmaciones que vayan más allá de lo que ya se conoce. Para Kant, toda afirmación analítica, debido a su carencia de material intuitivo, es inmediatamente evidente y trivial. Así es que Kant excluye toda proposición matemática de los juicios analíticos: el predicado «tener ángulos que sumen 180º» no está contenido en el concepto de «triángulo».

— El concepto «doce» de ninguna manera es evocado en el mero pensamiento de la unión de «siete» y «cinco»; podría analizar un concepto como tal cuanto tiempo quisiese, pero seguiría sin encontrar el «doce» en él. —

Immanuel Kant. Crítica de la razón pura. 1787.

Matemática y juicios sintéticos

Para Kant, las matemáticas ocupan una posición peculiar dentro del conocimiento. Sus proposiciones no proceden de la experiencia empírica: no necesitamos contar objetos físicos concretos para saber que siete más cinco es doce, ni medir todos los triángulos posibles para reconocer que sus ángulos suman dos rectos. En ese sentido, las verdades matemáticas son a priori: poseen necesidad y universalidad, y su validez no depende de la observación del mundo.

Pero esto no significa que las matemáticas sean meras verdades analíticas. Para llegar al resultado, no basta con analizar conceptos; debemos construir la operación, recorrer una sucesión, añadir unidades. La aritmética requiere, por tanto, una actividad constructiva. La clave está en que esta construcción no se realiza a partir de intuiciones empíricas, sino a partir de intuiciones puras. La geometría se fundamenta en la forma pura del espacio: podemos construir una línea, un triángulo o una figura antes de comprobarlos en la experiencia, porque el espacio es la forma bajo la cual cualquier objeto externo puede aparecernos. La aritmética, por su parte, se vincula al tiempo como forma de la sucesión: contar implica añadir una unidad tras otra, ordenar los elementos en una serie y recorrer esa serie de manera sucesiva. Por eso las matemáticas son, para Kant, juicios sintéticos a priori: sintéticos porque amplían el conocimiento, y a priori porque esa ampliación no depende de la experiencia empírica, sino de las formas puras que hacen posible toda experiencia.

Logicismo y juicios analíticos

Como veremos en este artículo, el logicismo busca expresamente contradecir a Kant, defendiendo que toda proposición matemática es una verdad necesaria o analítica. Otras aproximaciones al debate de los fundamentos como son el constructivismo o el intuicionismo (que exploraremos más adelante en esta serie) retoman, por el contrario, ciertos motivos kantianos, especialmente la centralidad de la construcción y de la intuición, aunque transformándolos profundamente

La nueva lógica

La Lógica Silogística

Cuando Kant considera los juicios analíticos tiene en mente la Lógica Silogística de Aristóteles: las deducciones que necesariamente concluyen de unas premisas dadas y de ninguna consideración circunstancial. Esta lógica analiza las proposiciones según el esquema sujeto-predicado, por ejemplo «todos los \(S\) son \(P\)». Su fuerza está en mostrar relaciones de inclusión y exclusión entre conceptos. Todo juicio silogístico puede reducirse a una de las cuatro proposiciones categóricas que establecen las posibilidades de inclusión de conceptos.

Así por ejemplo, la proposición «todos los griegos son hombres» sigue el esquema de la forma A, mientras que «ningún hombre puede volar» ejemplifica la forma E. De las premisas se sigue que ningún individuo que caiga bajo el concepto ‘griego’ cae bajo el concepto ‘puede volar’.

La Lógica Proposicional

Para Kant la lógica, como conocimiento analítico no ampliativo, es una rama estéril del conocimiento. La lógica formal no amplía por sí sola el contenido del conocimiento. Sin embargo, durante todo el siglo XIX, esta exhibirá sus múltiples posibilidades de desarrollo. Boole y Schröder asentaron las bases de un álgebra para la lógica: conectores lógicos, como la conjunción \(∧\), la disyunción \(∨\) o la implicación \(→\), operaban sobre valores de verdad (V y F, o también \(1\) y \(0\)) permitiendo obtener deducciones por medio de un cálculo mecánico.

En la actualidad esta evolución ha derivado en lo que se conoce como Lógica Proposicional, que a diferencia del Silogismo, no se centra en conceptos como «hombre» o «griego», sino en proposiciones completas, tratadas como unidades que pueden ser verdaderas o falsas. Así, una proposición (\(P\)) puede combinarse con otra (\(Q\)) mediante conectores como «y», «o», «no» o «si… entonces». Esto permite estudiar la forma de muchas inferencias válidas con gran precisión.

El logicismo

Para mediados del siglo XIX la lógica formal todavía no había desarrollado una sintaxis lo suficientemente rica para permitir expresar enunciados matemáticos complejos. Muchas proposiciones matemáticas no se reducen fácilmente a una relación entre un sujeto y un predicado, entre objeto y propiedad, sino que expresan relaciones entre varios objetos: «\(a\) es mayor que \(b\)», «\(x\) divide a \(y\)», «\(z\) está entre \(x\) e \(y\)». Esto deja a la Lógica Silogística como un aparato insuficientemente flexible para representar estas relaciones múltiples. Por otro lado, la Lógica Proposicional tiene también una limitación fundamental: no analiza la estructura interna de las proposiciones. Enunciados tan distintos como «Sócrates es mortal», «todo número primo mayor que dos es impar» o «existe un número mayor que todos los demás» pueden quedar reducidos a simples letras (\(P\)), (\(Q\)) o (\(R\)). Por eso no basta para expresar la estructura cuantificada y relacional de las matemáticas.

De forma paralela a estos desarrollos la Aritmética y el Análisis buscaba formulaciones cada vez estrictas. Veamos un ejemplo en la definición de límite ofrecida por Weierstrass en la década de 1850, definición que supuso uno de los hitos del Análisis moderno y que es usada hoy en día. El límite de una función \(f(x)\) cuando \(x\) tiende a \(p\) es \(L\)…

…si para todo \(\varepsilon >0 \) existe un \(\delta >0 \) tal que, para todo \( x \), si \(\left| x\, – \, p \right| < \delta \) entonces \(\left| f(x)\, – \, L \right| < \varepsilon \).

Los términos en cursiva como «si… entonces» o «existe un» son expresiones que nos remiten a la Lógica Proposicional o a la Silogística, a diferencia de aquellas que son específicas de la aritmética como «menor que» o «mayor que». Este tipo de recursos son generales a cualquier rama de la matemática e incluso a toda ciencia que pretenda ser rigurosa. ¿Acaso la lógica no acoge bajo su seno las reglas de inferencia que son comunes a todos los saberes incluida la matemática? Esto es precisamente el planteamiento fundamental del logicismo: la matemática es una rama subordinada a la lógica y es posible deducir toda proposición matemática a partir de las leyes de la verdad y la inferencia.

El logicismo de Gottlob Frege

Gottlob Frege era un matemático ya maduro cuando se embarcó en su proyecto de asentar los cimientos filosóficos de la matemática. Este proyecto, aunque si bien pasó décadas prácticamente desapercibido, terminó siendo el primer programa consistente con el logicismo. En 1879 Frege sentaría las bases de los principios que rigen la Lógica tal y como son entendidos hoy en día en su obra Begriffsschrift (traducible como Conceptología). Hoy conocemos esta rama de la lógica como Lógica de Predicados (o Lógica de Primer Orden)y Frege la usaría como fundamento de las nociones matemáticas.

Aritmética y sensibilidad

Frege distingue entre una idea o evocación psicológica subjetiva, y la proposición objetiva cuya veracidad no depende de las condiciones físico-mentales de su manifestación. La distinción sería equivalente a la que existe entre «recuerdo» y «suceso». Una proposición aritmética, como es 2+2=4, se encuentra rodeada de un aura de certidumbre y convicción, contra la que ni siquiera es posible concebir su negación. La aplicabilidad de la Aritmética sobre el mundo físico no debería desviar nuestra atención de su carácter universal más allá de toda circunstancia.

– Las bases de la aritmética son más profundas que las de cualquier ciencia empírica, incluso más que la geometría. Las verdades de la aritmética gobiernan sobre todo aquello que es numerable. Este es el dominio más amplio de todos, al que pertenece no solo lo real, ni lo intuible, sino todo aquello siquiera pensable. ¿No deberían las leyes de número estar entonces íntimamente conectadas con las leyes del pensamiento? – 

Gottlob Frege. Fundamentos de la Aritmética. 1884.

Al negar la dependencia de la certeza matemática de las intuiciones sensibles, Frege se posiciona abiertamente contra Kant. Para este último, los juicios, verdaderos o falsos, son el resultado de la síntesis entre los conceptos y el material sensible en forma de intuiciones. Frege argumenta exactamente en la dirección contraria: nuestra capacidad de análisis nos permite abstraer los conceptos que existen tras los juicios que emitimos. Estos conceptos per se son el objeto de estudio de la lógica. Curiosamente Frege está de acuerdo con Kant en que la geometría sí que es una disciplina sintética cimentada en nuestra intuición del espacio.

El lenguaje lógico

La pretensión de Frege de derivar los principios elementales de la Aritmética a partir de la Lógica resultaba en una tarea imposible dadas las limitaciones expresivas que ya hemos comentado antes. Era necesaria una nueva lógica, una suerte de lenguaje que reemplazase las ambigüedades del lenguaje ordinario por una estructura inferencial precisa. En términos de Frege en Begriffsschrift, un lenguaje formal que expresase «las relaciones que sean independientes de las propiedades específicas de las cosas». Su objetivo sería codificar las formas de inferencia necesarias para reconstruir rigurosamente las demostraciones matemáticas, como es el ejemplo previo sobre la definición de límite. El resultado permitiría elaborar grandes cadenas de inferencias, deducción tras deducción, de una forma estrictamente rigurosa.

Función y argumento

El silogismo es la lógica de la inclusión y exclusión de conceptos y la Lógica Proposicional atañe al cálculo de los valores veritativos por medio de operadores lógicos (conjunción, disyunción, etc…). Frege pretende combinar ambas en un mismo sistema. 

La innovación que Frege introduce en la Begriffsschrift consiste en abandonar el esquema tradicional de sujeto-predicado, propio de la Silogística, y sustituirlo por un análisis de función y argumento. En lugar de fijarse en la forma gramatical superficial de una oración, Frege atiende a su estructura lógica: una función es una expresión incompleta, como «\(x\) puede volar» o «\(x\) derrotó a \(y\)», y opera como una estructura abierta que solo produce un juicio completo cuando sus variables son sustituidas por objetos determinados o argumentos. Esta distinción está motivada por los objetivos de la obra: Frege considera que dos juicios tienen el mismo contenido conceptual cuando las consecuencias que se derivan de ellos son las mismas. Así, no conviene diferenciar lógicamente expresiones como «los griegos derrotaron a los persas en Platea» y «los persas fueron derrotados por los griegos en Platea». El sujeto gramatical no coincide en ambas, pero su contenido significativo es el mismo y, por tanto, también lo son sus consecuencias lógicas.

Variables y cuantificación

Expresiones insaturadas tales como «\( x \) puede volar» no conforma una proposición cerrada que pueda ser verdadera o falsa puesto que contienen una variable de valor indeterminado. El uso de estas variables permite a la lógica de Frege capacidades expresivas mucho más amplias que las de la Lógica de Proposiciones. Dos son los principales atributos de esta nueva lógica:

– En primer lugar, la lógica de Frege es una lógica poliádica. Un predicado puede tener múltiples variables. Por ejemplo «\( a \) es el asesino de \( b \)». Tal característica no encaja bien en la silogística tradicional, centrada en predicados monádicos.

– En segundo lugar, se trata de una lógica cuantificada. No es lo mismo afirmar que «el número veinte tiene un sucesor» que «todo número entero tiene un sucesor». Ambas expresiones comparten un mismo predicado. Pero la segunda, a diferencia de la primera, refiere a una totalidad. Así cuantifica sobre el dominio de posibles valores de la variable (en este ejemplo, el dominio de los números enteros). En simbología moderna los cuantificadores son \(\forall\) («para todo») y \( \exists\) («existe un»).

Conclusión

Veamos el ejemplo de la definición de límite Weierstrass haciendo uso del lenguaje lógico de Frege (recurriendo a la simbología moderna y no la del propio Frege que es compleja y nunca se extendió más allá de sus propios textos):

$$\forall \varepsilon \left[
\varepsilon > 0 \to
\exists \sigma \left[
(\sigma > 0) \wedge
\forall x \left[
\left(0 < \left|x-p\right| \wedge \left|x-p\right| < \sigma\right)
\to
\left|f(x)-L\right| < \varepsilon
\right]
\right]
\right]$$

En el siguiente artículo veremos cómo Frege desplegó todas las capacidades expresivas de este lenguaje lógico (conocido actualmente como Lógica Cuantificada o de Primer Orden) para ofrecer una definición lógica de número a partir de la cual poder deducir el resto de teoremas aritméticos. Con esta nueva aritmética Frege asienta los principios del logicismo que serán continuados por otros autores como Russell o Ramsey.

Lecturas Recomendadas

– Kant, I. (1787) Crítica de la razón pura.

– Frege, G. (1879) Conceptología.

– Frege; G. (1884) Fundamentos de la Aritmética.