Números irracionales y reales
Aunque la idea de número es tan antigua como la humanidad, su tratamiento desde una perspectiva exclusivamente matemática es algo relativamente moderno. Precisamente por su carácter elemental, primitivo, el concepto de número siempre ha conseguido esquivar los formalismos matemáticos. El descubrimiento de los números irracionales supuso un añadido más a toda esta confusión.
La naturaleza de los números
La Aritmética, junto a la Geometría, son las ramas de la Matemática con mayor bagaje histórico. Su origen como ciencias fundamentadas en principios rigurosos puede remontarse a la Grecia Antigua o incluso antes. En un principio, ambos campos eran indisociables. Los números podían expresarse como magnitudes espaciales y viceversa. Pitágoras y sus seguidores otorgaron a los números un carácter metafísico y sagrado, hasta elevar el conocimiento de la matemática a una experiencia místico-religiosa. Los números se encontraban más allá del mundo físico, pero eran el principio que fundamentaba toda la realidad, expresándose en la armonía de la naturaleza.
Números y operaciones
La idea intuitiva de número está vinculada estrechamente a la acción de contar, de seguir una sucesión. De este sencillo acto se gesta la primera de las operaciones aritméticas: la suma o adición, que no es más que una composición de la acción de contar. Así, mediante la adición podemos generar todos y cada uno de los infinitos números naturales, los enteros positivos y el cero, los cuales aparecen en la notación matemática como \(\mathbb{N}=\left\{ 0,1,2,3,4, \cdots \right\}\). A partir de la adición construimos la multiplicación: una conjunción simultánea de sumas. Estas dos operaciones son cerradas en el sentido de que siempre que operemos con números naturales, el resultado será un número que pertenece también a los naturales.
Números enteros
Las operaciones inversas a estas amplían nuestro horizonte numérico, pues generan nuevos conjuntos de números. De aplicar la resta sobre los naturales surgen los enteros negativos (\(-1, \, -2, \, -3, \, -4, \cdots\)). Durante siglos no se tuvieron en cuenta estos números por cierto prejuicio que vinculaba a las cifras con las magnitudes espaciales. No tiene sentido hablar de una longitud de \(-4\) y por tanto, su uso no se generalizó hasta el siglo XVI por lo menos en la tradición matemática europea, cuando comenzó a abandonarse el obstáculo mental que impedía ver la Matemática como una ciencia que va más allá de las magnitudes espaciales. A día de hoy están plenamente legitimados y, junto a los números naturales, forman el conjunto que conocemos como números enteros (\(\mathbb{Z}\)).
Números racionales
La inversa de la multiplicación es la división, también llamada razón. Esa operación es bien conocida desde tiempos inmemoriales y, como la resta, nos ofrece un nuevo conjunto numérico más allá de los números enteros. Se trata de los números racionales \(\mathbb{Q}\): todos aquellos números que surgen de la división entre enteros. Este conjunto acoge tanto los números naturales, por ejemplo \(\frac{36}{1}\), como los que habitualmente conocemos como números con decimales: lo mismo podemos expresarlos como una razón (\(\frac{7}{2}\)), como con decimales (\(3.5\)). Si pensamos en la recta numérica, vemos que los números naturales se extienden desde el \(0\) hasta el infinito. Los números enteros negativos desde el \(-1\) hasta el infinito negativo. Los números racionales engloban tanto los números enteros como los espacios entre ellos. Entre dos números enteros consecutivos existen infinitos números racionales.
Esta propiedad no es más que la consecuencia de la propia infinitud de los números enteros. A medida que crece el denominador, el número racional que resulta es más y más pequeño.
Números irracionales
Establecidos los números racionales podríamos pensar que todo el dominio numérico está ya acotado. La infinitud se extiende tanto hacia magnitudes cada vez más grandes como a las más pequeñas. Pero lo cierto es que hay más. De hecho hay infinitamente más.
El descubrimiento de los números irracionales nos lleva de nuevo a la Escuela Pitagórica. Reiteramos que en aquella época la Matemática estaba supeditada a la ciencia de las magnitudes espaciales que pueden ser trazadas de forma efectiva. Mediante proporciones entre segmentos expresamos cantidades numéricas. Doblar una magnitud dada de tamaño cualquiera sugería el número dos. Partir esa magnitud en dos secciones de igual tamaño se vinculaba a un medio. Este tipo de proporciones eran independientes del sistema usado para medir.
La raíz de 2
Hípaso de Metaponto, un discípulo de Pitágoras, vendría a desmontar la doctrina fundamental de su propia escuela, que sostenía que los números naturales, los enteros positivos más el \(0\), eran el fundamento de toda la realidad. Hípaso demostró que existían cantidades que no podían ser expresadas por medio de números naturales, ni siquiera racionales. Uno de estos números es . Si tomamos un cuadrado de lado igual a uno, por el mismo Teorema de Pitágoras la diagonal de dicho cuadrado será .
$$a^2 + b^2 = c^2$$
$$1^2 + 1^2 = 2$$
$$c^2 = 2$$
$$c = \sqrt{2}$$
Cuenta la leyenda que la demostración de la inconmesurabilidad de esta cifra enojó tanto a los pitagóricos que, en uno de sus viajes, asesinaron a Hípaso arrojándolo por la borda del barco. Si nos fijamos en esta cifra notaremos que la expresión decimal de es infinita no periódica (no existe un conjunto de cifras que se repita).
$$\sqrt2 = 1.142857142857…$$
No podemos expresarlo plenamente por medio de decimales. Pero esto por sí mismo no es un rasgo definitorio de los números irracionales. Podemos encontrar ejemplos de números racionales con una expresión decimal también infinita. Por ejemplo:
$$\frac{1}{7} = 0.1428571428…$$
Lo que hace particulares a los números irracionales es que esquivan todo intento de cercarlos mediante los números enteros ordinarios. Las operaciones aritméticas de suma, división y resta que nos permitían «alcanzar» a todos los números racionales desde los naturales, aquí ya no nos sirven.
Demostración de la irracionalidad de
Decía el reconocido matemático H. G. Hardy que existían dos demostraciones matemáticas que, por su simpleza y por su inmensa repercusión, exhibían como ninguna otra la excelsa belleza de la matemática. Una de esas demostraciones afirmaba la infinitud de los números primos. La segunda es la que expondremos aquí: la irracionalidad de .
La demostración aplica el método de reducción al absurdo, esto es, suponer lo contrario de aquello que queremos demostrar y dejar que esto nos lleve a una contradicción insalvable. Siguiendo esto, supongamos que efectivamente es un número racional. Por definición esto implicaría que deben existir dos números naturales (que no sean \(0\)) \(a\) y \(b\) tales que \(\frac{a}{b}=\sqrt{2}\).
Vamos a suponer que dicha fracción \(\frac{a}{b}\) se encuentra lo más reducida posible. Esto es, numerador y denominador no pueden tener un divisor común puesto que entonces podrían seguir reduciéndose. Por ejemplo, \(\frac{21}{6}\) se reduce a \(\frac{7}{2}\) pues comparten \(3\) como divisor común. Para cada número racional solo existe una única fracción de naturales que sea reducida al máximo.
$$\frac{a}{b} = \sqrt{2}$$
$$\frac{a^{2}}{b^{2}} = 2$$
$$a^{2}= 2b^{2}$$
Concluimos que \(a^2\) es igual a un número multiplicado por dos. Esto es equivalente a decir que \(a^2\) es un número par y, por propiedad de los cuadrados, también lo es \(a\). Por la definición de paridad, estamos autorizados a igualar \(a\) con un número \(p\) multiplicado por \(2\). Así, podemos continuar el razonamiento:
$$(2p)^2= 2b^{2}$$
$$4p^2= 2b^{2}$$
$$2p^2= b^{2}$$
Concluimos que \(b^2\), y por tanto \(b\) es un número par. Esto significa que \(\frac{a}{b} = \sqrt{2} = \frac{2p}{2q}\). Las fracciones con números pares son reducibles, pues comparten divisor común 2. Ya hemos encontrado la contradicción que buscábamos, puesto que la premisa era que la fracción \(\frac{a}{b}\) se encontraba ya reducida al máximo. Debemos descartar la hipótesis inicial que implicaba que \(\sqrt{2}\) fuese un número racional, producto de la división de dos enteros. Por tanto, tal número es irracional.
Los números reales
Se conocen como números reales \(\mathbb{R}\) al conjunto de los números racionales e irracionales.
Decimos que los números racionales son densos, es decir, por mínima que sea la diferencia entre dos números racionales distintos, existirán infinitos otros números racionales entre ambos. Pero, la existencia de los irracionales implica que los números racionales no acogen todos los posibles números que existen en la recta real. Por así decirlo, hay huecos que no pueden ser llenados y recorrer los racionales implicaría avanzar a saltos. En la aparentemente completa recta de los números racionales, existen discontinuidades.
Sin embargo, la recta real sí que muestra continuidad. La pregunta de cuántos reales existen, es decir racionales e irracionales, es una de las motivaciones de toda la Teoría de Conjuntos que nacería a finales del siglo XIX de la mano de Georg Cantor y a la que dedicaremos los artículos venideros.
El fenómeno de la continuidad
Definir los irracionales es una tarea difícil. Con los conjuntos numéricos de los naturales y racionales nos bastaba con aplicar las operaciones aritméticas fundamentales de suma, multiplicación, resta y división. Pero la naturaleza de los irracionales no nos permite seguir estos pasos. Ninguna de estas operaciones aritméticas, aplicada sobre cualesquiera números racionales, resulta en un número irracional. Los irracionales son pues inalcanzables. Aparecieron en un primer momento no desde la Aritmética, sino de la Geometría como hemos visto. Definir la totalidad de los números reales pasa entonces por métodos menos conocidos y más complejos que los vistos hasta ahora. De hecho, históricamente no han aparecido hasta la segunda mitad del siglo XIX. En los artículos venideros veremos las extrañas propiedades del continuo matemático. Pero para ello será necesario profundizar en un tema que ha asombrado e inquietado a los matemáticos desde el principio de los tiempos: el infinito.
