La Aritmética de Frege

Gottlob Frege y el logicismo

En este artículo tomaremos como referencia los Grundlagen der Arithmetik («Fundamentos de la Aritmética»), además de la última de las grandes obras de Frege: Grundgesetze der Arithmetik («Leyes Básicas de la Aritmética»). El objetivo de estas obras es múltiple. Frege busca ofrecer una idea precisa de número partiendo de los recursos de la lógica formal, en línea con el llamado programa logicista. No solo proponer una definición, sino derivar las leyes básicas de la aritmética, como las propiedades de la suma, del producto y de la sucesión numérica.

Las razones por las que se decidió por la Aritmética como objetivo de fundamentación rigurosa las mencionamos en el artículo pasado: Frege consideraba que las verdades de la aritmética poseen una generalidad excepcional, porque se aplican a todo aquello que puede ser contado o pensado bajo el aspecto de la numerabilidad.

Lógica y Matemática

Frege, como ya había planteado en obras previas, defiende una posición analítica de la Aritmética, esto es, derivar teoremas a partir de definiciones precisas y leyes lógicas generales. El análisis así entendido concibe las nociones matemáticas emergiendo de principios universales del pensamiento. Por supuesto, Frege no entendía el pensamiento como un acto cognitivo efectivo dependiente de las condiciones psico-fisiológicas. Para el matemático se trata más bien de guías que señalan cómo debe ser el pensamiento y que determinan deducciones necesarias. Tales guías están más allá de cualquier pensamiento individual, son leyes de la inferencia misma y por ello, analíticas. Así, los números, tal y como los plantea Frege, son objetos abstractos pertenecientes a un reino distinto del mundo exterior y del mundo mental y que nada les debe a estos.

Conceptos y objetos

Frege, en los Grundlagen, introduce una noción que será central en su sistema: el concepto (Begriff). La obra de Frege, extensa y desarrollada a lo largo de su vida, irá precisando esta noción a lo largo de su obra, especialmente al vincularla con la noción de función. Por el momento, entenderemos concepto como una expresión sobre un objeto indeterminado, como por ejemplo «\(x\) es la capital de un país» o también «\(x=4\)». Como vemos, un concepto es la parte insaturada a la espera de recibir un argumento. Solo cuando la variable \(x\) es sustituida por un valor preciso («Seúl es la capital de un país» o «\(6=4\)»), el concepto introduce una declaración que puede ser verdadera o falsa. Pueden existir conceptos de segundo orden, aquellos que son saturados por otros conceptos. En estos casos el argumento es denotado como \(X\). Por ejemplo «\(X\) es un concepto que describe características de un país».

¿Qué son los números?

Principio de abstracción

Cuando decimos que existen doce constelaciones del Zodíaco y doce discípulos de Cristo, usamos el mismo número en contextos muy distintos. Pero ¿qué significa exactamente que ambos conceptos tengan el mismo número? ¿Qué tienen en común conceptos tan diferentes como «x es una constelación del Zodíaco» y «x es un discípulo de Cristo»?

Una primera respuesta consiste en observar que las atribuciones numéricas no se aplican directamente a objetos individuales, sino a conceptos. No decimos que un discípulo concreto sea «doce», sino que el concepto «x es un discípulo de Cristo» tiene doce objetos bajo él. En este sentido, expresiones como «ser doce», «ser siete» o «no tener ningún elemento» funcionan como propiedades de segundo orden: no se aplican a objetos, sino a conceptos bajo los cuales caen objetos. Sin embargo, esta observación no basta todavía para explicar qué es un número. Para Frege, los números no son meras propiedades de conceptos, sino objetos abstractos. La pregunta decisiva es, por tanto, cómo podemos pasar desde una relación entre conceptos —por ejemplo, que dos conceptos tengan tantos objetos el uno como el otro— hasta la introducción de un objeto abstracto común: el número.

Este es el papel de un principio de abstracción. Un principio de abstracción parte de una relación de equivalencia y la convierte en un criterio de identidad para nuevos objetos abstractos. No se limita a agrupar casos parecidos, sino que establece cuándo dos modos distintos de presentar algo remiten al mismo objeto. En el caso de los números, la relación relevante será la equinumerosidad: dos conceptos tienen el mismo número cuando es posible emparejar los objetos que caen bajo uno con los objetos que caen bajo el otro, sin que sobre ni falte ninguno. Pero antes de aplicar esta idea a los números, Frege introduce un ejemplo más sencillo tomado de la geometría: el de la dirección de una recta.

Equivalencia e identidad

Frege ilustra el funcionamiento de la abstracción mediante el caso de las rectas paralelas. Podemos comparar dos rectas, \(a\) y \(b\), atendiendo a una relación específica: ser paralelas. Escribimos esta relación como \(a \parallel b\). El paralelismo es una relación de equivalencia: una recta es paralela a sí misma, si \(a\) es paralela a \(b\), entonces \(b\) es paralela a \(a\), y si \(a\) es paralela a \(b\), y \(b\) es paralela a \(c\), entonces \(a\) es paralela a \(c\). Gracias a estas propiedades, el paralelismo permite agrupar rectas que comparten una misma dirección. El paso abstractivo consiste en introducir un nuevo objeto: la dirección de una recta. No identificamos las rectas entre sí, pues dos rectas distintas pueden ser paralelas. Lo que identificamos es su dirección. Así, decimos que la dirección de \(a\), que podemos denotar como \(D(a)\), es igual a la dirección de \(b\), \(D(b)\), si y solo si ambas rectas son paralelas:

$$D(a)=D(b) \leftrightarrow a \parallel b$$

La relación de equivalencia «ser paralelas» se transforma así en un criterio de identidad para objetos abstractos: las direcciones. Dos rectas pueden ser distintas, pero tener la misma dirección. La igualdad ya no se afirma entre las rectas mismas, sino entre los objetos abstractos que obtenemos a partir de ellas.

El Principio de Hume

Partiendo de dos conceptos como puedan ser «\(x\) es una Maravilla de la Antigüedad» o «\(x\) es una nota musical» ¿Qué criterio de equivalencia permitiría dar forma al concepto de número siete? En el caso de los números, el criterio de equivalencia no sería el de paralelismo sino el de equinumerosidad: la posibilidad de emparejar los objetos que caen bajo ambos conceptos de manera que ninguno quede aislado. Si dos conceptos son equinumerosos, entonces el número que corresponde a uno será el mismo que corresponde al otro. Así, podemos decir que el número \(\theta\) de un concepto \(P\) es igual al número de un concepto \(Q\) si y solo si \(P\) y \(Q\) son equinumerosos (denotado con el símbolo \(\sim\))

$$\theta (P) = \theta (Q) \leftrightarrow P \sim Q$$

Este es el conocido como Principio de Hume, por su atribución al famoso filósofo británico. La equinumerosidad era, como vimos en artículos previos, el fundamento a partir del cual Cantor daba lugar al concepto de número cardinal. El Principio de Hume establece la equivalencia entre la igualdad de operadores del tipo «el número de un concepto» con la equinumerosidad entre conceptos.

Definiciones contextuales

El Principio de Hume parece ofrecer una vía elegante para introducir los números en el sistema lógico. En lugar de comenzar preguntando qué es el número \(7\), \(12\) o \(0\) tomados aisladamente, Frege propone atender al modo en que aparecen dentro de enunciados de identidad. Así, no definimos primero qué es «el número de \(P\)», sino cuándo dos expresiones de la forma «el número de \(P\)» y «el número de \(Q\)» designan lo mismo. \(\theta P\) significa «el número del concepto \(P\)», y \(P\sim Q\) significa que los conceptos \(P\) y \(Q\) son equinumerosos: los objetos que caen bajo \(P\) pueden emparejarse uno a uno con los objetos que caen bajo \(Q\), sin que sobre ni falte ninguno. La expresión \(\theta P\) no es, por tanto, un predicado que afirme algo por sí solo, sino un término singular: pretende nombrar un objeto, el número que corresponde al concepto \(P\).

Este tipo de definición se conoce como definición contextual. Su rasgo característico es que no introduce un objeto directamente, mediante una definición explícita, sino que fija las condiciones bajo las cuales ciertas expresiones que lo contienen pueden considerarse iguales. En este caso, el principio nos dice cuándo dos términos numéricos tienen el mismo referente: «el número de \(P\)» es igual a «el número de \(Q\)» si y solo si \(P\) y \(Q\) son equinumerosos.

Pero esta estrategia deja abierta una dificultad importante. El Principio de Hume permite comparar números entre sí cuando ambos se presentan como números de conceptos. Nos dice, por ejemplo, cuándo «el número de los discípulos de Cristo» es igual a «el número de las constelaciones del Zodíaco». Sin embargo, no explica cómo comparar un número con un objeto cualquiera del sistema lógico que no haya sido presentado como número de un concepto. La definición contextual fija identidades de la forma \(\theta P=\theta Q\), pero no determina directamente qué ocurre con expresiones mixtas como \(\theta P=q\), donde \(q\) puede ser un objeto cualquiera. Y si los números deben ser auténticos objetos, no basta con saber cuándo dos números son iguales entre sí: también debe quedar determinado qué los distingue de cualquier otro objeto.

El Problema de Julio César

Esta dificultad es lo que Frege denomina el Problema de Julio César. El Principio de Hume nos permite decidir cuándo dos conceptos tienen el mismo número, pero no nos permite decidir, solo a partir de ese principio, si un objeto cualquiera es o no un número. Por ejemplo, no nos ofrece una regla para determinar el valor de verdad de una expresión como:

$$\theta P=\text{Julio César}$$

Naturalmente, sabemos que Julio César no es un número. Pero la cuestión de Frege no es psicológica ni histórica, sino lógica: una definición satisfactoria de número debería permitirnos excluir esa posibilidad desde dentro del propio sistema. No debería depender de una intuición externa acerca de quién fue Julio César o de qué tipo de objeto parece ser.

El problema surge porque el Principio de Hume solo establece condiciones de identidad entre términos numéricos. Si tenemos «el número de \(P\)» y «el número de \(Q\)», el principio nos dice que ambos son iguales cuando \(P\) y \(Q\) son equinumerosos. Pero si uno de los dos lados de la identidad no tiene la forma «el número de un concepto», el principio queda sin aplicación. Por eso Frege considera insuficiente introducir los números únicamente mediante una definición contextual. Una teoría adecuada debe explicar qué son los números como objetos y debe fijar condiciones de identidad que permitan compararlos con cualquier otro objeto del sistema. Solo así podrá afirmarse que los números han sido definidos con plena precisión lógica.

Conceptos y extensión

En su obra definitiva y final, los Grundgesetze der Arithmetik, aclara el proyecto logicista con una presentación mucho más formal de sus nociones básicas, principalmente la de concepto. Un concepto es un caso particular de una noción más general como es la de función, una que mapea cada argumento con uno de dos posibles valores de verdad: «verdadero» o «falso«. Decimos que dichos objetos caen bajo el concepto, es decir, cuando el concepto devuelve el valor de verdad ‘verdadero’.

Extensión

Intuitivamente, podemos pensar la extensión como aquello que corresponde a los objetos que caen bajo el concepto, lo cual es una perspectiva conjuntiva del tema, aunque acercándonos más a Frege, se trata más bien del mapeo o asignación de valores ‘verdadero’ o ‘falso’ a diferentes objetos que puedan servir de argumento para dicho concepto. Así, el concepto «\(x\) es una luna galileana» tiene una extensión: {Ío, Calisto, Ganímedes, Europa} porque son estos objetos los que devuelven el valor ‘verdadero’. Para un concepto \(Q\), denotamos su extensión como \(\varepsilon Q\).

La extensión no deja de ser una definición cercana a la de conjunto: ambas definen una agrupación de elementos tomada como un todo delimitado. Siguiendo la moderna notación de Teoría de Conjuntos, podemos definir un conjunto \(P\) a partir de un concepto fregeano como puede ser \(x^2 = 16\) tal que

A tal conjunto así definido pertenecen dos elementos: \(4\) y \(-4\).

Aun así, los principios lógicos de Frege atribuyen a las extensiones propiedades que no coinciden sin más con las de los conjuntos en la teoría de conjuntos posterior. Desarrollaremos estas diferencias más adelante.

La ley V

Un concepto determina siempre una extensión. Este es el llamado Principio de Comprensión. Frege desarrolla esta noción de extensión y recurre a ella para sustituir el Principio de Hume de los números. Combinando la notación de Frege para la extensión con el moderno lenguaje lógico podemos formular un criterio de identidad para extensiones:

Este principio, que en el sistema lógico de Frege es conocida como la Ley Básica V, afirma que si dos extensiones \(\varepsilon F\) y \(\varepsilon P\) son iguales entonces los objetos que caen bajo un concepto son los mismos que caen bajo el otro. Esto es así incluso para aquellos conceptos bajo los cuales no cae ningún objeto como puede ser «\(x\) es un cuadrado redondo». Decimos que tales extensiones son vacías. Veremos en el artículo siguiente que esta ley, aparentemente inofensiva, truncaría todo el proyecto de Frege. Pero antes veamos sus implicaciones.

Extensión y números

Frege recurre a la noción de extensión para ofrecer una definición explícita de los números como objetos. Ya no se limita a establecer, mediante el Principio de Hume, cuándo dos expresiones numéricas designan lo mismo, sino que intenta identificar qué objeto es el número correspondiente a cada concepto. Define el número que corresponde a un concepto \(F\) como la extensión de un concepto de segundo orden «\(X\) es equinumeroso con \(F\)», entendiendo \(X\) como un concepto indeterminado. Intuitivamente, este objeto puede entenderse como la clase completa de todos los conceptos equinumerosos con \(F\), es decir, todos los conceptos \(X\) que resuelvan ‘verdadero’ para ese concepto. Estos conceptos \(X\) pertenecen a esa clase, pero no son individualmente idénticos al número: el número se identifica con la clase completa. Todo número es pues una extensión que agrupa conceptos que son equinumerosos entre sí. Así, el concepto de segundo orden «\(X\) es equinumeroso a los discípulos de Cristo» se resolvería como ‘verdadero’ al tomar como argumentos conceptos de primer orden como «\(x\) es una constelación del Zodíaco» o «\(x\) es un mes del año». Todos ellos conforman una extensión, la cual por definición constituye el número ‘doce’ y puedes ser tratada como un objeto más del sistema lógico.

Podemos ver el peso que tiene en esta definición la Ley V; es por ella que podemos recoger bajo una misma extensión a todo concepto equinumeroso. Más abajo expondremos cómo se define con precisión cada uno de los números.

La Ley V frente al Principio de Hume

La ley V, al igual que el principio de Hume, establece la equivalencia con una igualdad (entre extensiones) en uno de sus lados. A pesar de su similitud, la definición por extensión soluciona alguno de los problemas del Principio de Hume. Frege no está introduciendo una noción realmente novedosa. Todo concepto, como un tipo particular de función que es, cuenta con un dominio: todos los objetos que la función acepta como argumento, es decir, para los que resuelve un valor. La extensión es una sección de ese dominio, aquellos argumentos para los que devuelve un valor verdadero. Además, la extensión es en sí un objeto más, fácilmente definible, que puede compararse con otros elementos del sistema, solucionando así el Problema de Julio César.

Aritmética de Frege

El número  \(0\) y \(1\)

Siguiendo estos principios, el número \(0\) se define por medio de un concepto de segundo orden que enuncia la equinumerosidad entre conceptos tales como «\(x\) es un cuadrado redondo» o «\(x\) es un soltero casado», es decir, conceptos bajo los cuales no cae ningún elemento por ser contradictorios. En términos más cercanos a Frege, todo concepto equinumeroso a «\(x\) no es igual a sí mismo» (\(x \neq x\)) tiene asociada una extensión, siendo tal extensión dicho número \(0\).

$$0 = \varepsilon (X \mapsto X \sim (x \neq x))$$

Este número \(0\) es un objeto más del sistema y por lo tanto puede funcionar como argumento para otros conceptos de primer orden, por ejemplo «\(x = 0\)». Bajo este concepto solo cae un único objeto, que ya hemos definido previamente, el propio \(0\). La extensión de todos los conceptos de primer orden unitarios, como «\(x = 0\)» pero también «\(x\) es Julio César», bajo los cuales cae exactamente un objeto, constituye el número \(1\).

$$1 = \varepsilon (X \mapsto X \sim (x = 0))$$

El ancestral

Hasta ahora hemos definido el número como la extensión de un concepto de segundo orden. Para completar la definición lógica de número natural es necesario poner en relación estos números, de manera que podamos declarar relaciones tales como «\(x\) es mayor que» o «\(x\) es anterior a». Frege parte de una noción desarrollada por él mismo y que más adelante llegaría a ser conocida como el ancestral. Este término busca evocar los vínculos biológicos de antepasado y descendiente, aplicados a la sucesión numérica.

Comencemos por su expresión formal. Un objeto \(z\) tiene a \(a\) por ancestral respecto de una relación \(R\) si satisface toda propiedad \(P\) que cumpla dos condiciones:

• \(a\) satisface \(P\): \(P(a)\).
• Para cualesquiera objetos \(x\) e \(y\), si \(P(x)\) y \(R(x,y)\), entonces \(P(y)\).

Recurriendo al lenguaje moderno de la lógica de segundo orden, \(a\) es un ancestral de \(z\) respecto de \(R\) si:

$$\forall P\Bigl[\bigl(P(a)\land \forall x\forall y\bigl((P(x)\land R(x,y))\rightarrow P(y)\bigr)\bigr)\rightarrow P(z)\Bigr]$$

Este aserto afirma que un objeto \(z\) tiene por ancestral a \(a\) si satisface toda propiedad hereditaria que satisface \(a\). Una propiedad es hereditaria respecto de \(R\) cuando, si \(P(x)\) y existe la relación \(R(x,y)\), entonces \(y\) también satisface \(P\). En otras palabras, \(a\) es un ancestral de \(z\) si \(z\) es el propio \(a\) o uno de sus descendientes.

Los números naturales

Una relación ancestral depende tanto de la relación \(R(x,y)\) como del elemento primordial \(a\). Si, por ejemplo, \(R(x,y)\) expresa que «\(x\) es el padre de \(y\)» y declaramos que \(a\) es algún tatarabuelo de \(z\), podríamos interpretar esta relación ancestral como aquella que vincula a \(a\) con sus descendientes, incluido \(z\). Al fin y al cabo, la definición de «antepasado» recoge una serie de propiedades heredables, como compartir apellido o la existencia de vínculos genéticos.

Evidentemente, para la definición de los números naturales nos interesa otro tipo de relación y de elemento primordial. Frege propone \(S(x,y)=\) «\(y\) es el sucesor de \(x\)». Que \(y\) sea el sucesor de \(x\) significa que \(y\) es el número de un concepto obtenido al añadir un objeto nuevo a otro concepto cuyo número es \(x\). El elemento primordial no puede ser otro que el número \(0\).

$$N(z)\leftrightarrow\forall P\left[\left(P(0)\land\forall x\forall y\bigl((P(x)\land S(x,y))\rightarrow P(y)\bigr)\right)\rightarrow P(z)\right]$$

Todos los objetos que satisfacen todas las propiedades hereditarias \(P\) que satisface \(0\) bajo la relación «ser sucesor de» forman una misma clase: la clase de los números naturales.

Conclusión

A partir de estos principios Gottlob Frege llegaría a deducir varios de los principales teoremas de la Aritmética, incluidos los Axiomas de Peano que definen a los números naturales. Así, Frege pretendía integrar la matemática con la lógica y asentar sus teoremas sobre la base de razonamientos generales que también eran aplicables en el discurso lógico-racional. 

Sin embargo, sus aspiraciones se derrumbaron poco antes de publicar el segundo volumen de los Grundgesetze. Bertrand Russell descubrió una terrible contradicción en su sistema: la conocida en la actualidad como Paradoja de Russell. Será el tema de nuestro próximo artículo.

Lecturas recomendadas

– Stanford Encyclopedia of Philosophy. Frege’s Theorem and Foundations for Arithmetic.

– Frege, G. (1953). The Foundations of Arithmetic: A Logico-Mathematical Enquiry into the Concept of Number. Traducción de J. L. Austin.

– Frege, G. (2013). Basic Laws of Arithmetic. Edición y traducción de P. A. Ebert y M. Rossberg.