Paradojas del Infinito

David Baños Abril

16 de febrero de 2026 11 min lectura

Los primeros estudios de perspectiva que aparecieron en el Renacimiento concibieron la idea de punto de fuga, o punto de convergencia de líneas de paralelas, un punto que, geométricamente, se sitúa en el infinito. En este artículo expondremos algunas de las propiedades más paradójicas e insólitas del infinito matemático.

Problemas del infinito

La mayoría de las grandes paradojas de la matemática implican al infinito de una forma u otra. Es por ello que ha sido fuente de desasosiego para las mentes racionales. Muchos esquivaron el bulto negándose a tratarlo con las debidas formalidades. A partir del siglo XIX, con la aritmetización del análisis y, más tarde, con la teoría de conjuntos, el infinito recibió tratamientos matemáticos cada vez más rigurosos. Este artículo será el primero de varios dedicados a la noción matemática del infinito. Expondremos aquí algunas paradojas que han surgido en relación al infinito y las posibles soluciones que se han ofrecido. El título de este artículo ha sido tomado de la obra Paradojas del Infinito de Bernard Bolzano, matemático de mediados del siglo XIX que fue pionero en un tratamiento riguroso de la noción de infinito matemático.

Distinguiendo infinitos

Veremos ahora un ejemplo de lo confuso que puede resultar el infinito. En el marco actual del Análisis estas operaciones con series infinitas no tendrían sentido, pero aquí buscamos una aproximación intuitiva al problema. Piénsese en la suma infinita de todos los números, que llamaremos $S_{1}$:

$$S_{1} = 1 + 2+ 3 +4 +5 \dots$$

Ahora compárese con la suma de todos los números a partir de uno dado, por ejemplo, $8$. Esta serie acoge todos los términos de la serie anterior, excepto los siete primeros, de manera que es tan solo una parte de $S_{1}$:

$$S_{8} = 8 + 9+ 10 +11 +12 \dots$$

Podríamos pensar que la primera serie es mayor que la segunda. Y no solo eso, sino que existiría una cantidad finita de diferencia entre ambas.

$$S_1 – S_8 = 1+2+3+4+5+6+7 = 28$$

Pero también es cierto que si asociamos, en orden, cada término de la serie con su correspondiente en la otra serie (el $1$ con el $8$, el $2$ con el $9$, etc..), vemos que los términos que aparecen en $S_{8}$ son siempre mayores. En las sumas finitas de misma cantidad de términos, si todos los términos de una serie son mayores que los términos de la otra, dicha suma es necesariamente mayor. Por ello, si consideramos que nuestras series tienen la misma cantidad de términos (infinitos) llegaríamos a un resultado contrario al del primer razonamiento: la segunda serie es mayor que la primera.

¿Cómo salvar esta contradicción? Es evidente que este tipo de estrategias válidas para los conjuntos finitos no los son cuando tratamos con infinitos elementos. Tendremos que recurrir a otro procedimiento para comparar conjuntos infinitos.

El todo y sus partes

Una de nuestras intuiciones más claras y evidentes es la que asume que el todo es mayor que cualquiera de sus partes. Nos es manifiesto que un segmento de recta, formado por la suma de tres segmentos más pequeños, deberá ser mayor que cualquiera de estas tres partes. Pero esto solo ocurre en el dominio de las magnitudes finitas. Veremos que una de las más sugerentes paradojas del infinito matemático es precisamente contrariar esta ley lógica.

Puntos de una recta

Una línea suele describirse intuitivamente como formada por infinitos puntos. Veremos que esto tiene consecuencias insólitas.

Póngase dos segmentos sobre una misma línea, $ab$ y $ac$, siendo el segundo mayor en magnitud. Llamemos $x$ a cualquier punto en $ab$. Podemos establecer una relación algebraica para que cualquier punto $x$ de $ab$ se asocie a un único punto $y$ en $ac$.

Por ejemplo, supongamos que $ab$ vale $7$ y $ac$ vale $12$ de manera que entre cualesquiera puntos de ambos segmentos se conserve una proporción.

$$\frac{x}{7} = \frac{y}{12}$$

De esta manera, a cada punto $x$ de $ab$ le corresponde un punto $y$ en $ac$ de forma inequívoca. Por ejemplo, si $x$ fuera $5$:

$$\frac{5}{7} = \frac{y}{12}$$

$$12(\frac{5}{7}) = y$$

$$y \approx 8.5714$$

Pero esto es también cierto a la inversa: para cualquier $y$ existirá un punto unívoco $x$ en $ab$. En otras palabras, cada punto de un segmento tiene su pareja en el otro segmento, o lo que es lo mismo, existe el mismo número de puntos en ambos segmentos, muy a pesar de que se trata de longitudes distintas. Esto es paradójico. A pesar de que los puntos del segmento $ab$ forman parte también del segmento mayor $ac$ lo cierto es que la cantidad de puntos en ambos es la misma. Y esto será así independientemente del tamaño de dichos segmentos.

Emparejar elementos

El ejemplo anterior nos muestra una de las propiedades más llamativas de los conjuntos infinitos: una parte de un conjunto infinito puede tener el mismo tamaño que el todo. Nuestro intento inicial de comparar series infinitas incurrió en una abierta contradicción. Las matemáticas rechazan todo tipo de contradicciones. Sin embargo, son permisibles con aquellos resultados que resultan contraintuitivos. Este procedimiento por emparejamientos, aun resolviéndose en consecuencias paradójicas, es el camino a seguir en la exploración del infinito matemático.

Aplicaciones

En matemáticas se denomina aplicación a una correspondencia o emparejamiento entre los elementos de un conjunto. Cada elemento puede vincularse con tan solo un único elemento del otro conjunto. Aplicación y función son conceptos equivalentes, aunque reservaremos el término función cuando exista una relación algebraica entre los conjuntos.

Dada la imposibilidad de contar cuántos elementos forman un conjunto infinito, los matemáticos han recurrido reiteradamente a esta estrategia de emparejar elementos. Se considera que, si a cada elemento de un conjunto se le vincula con un único elemento del otro y viceversa sin que ninguno quede desparejado, ambos conjuntos son del mismo tamaño. Este procedimiento se conoce como aplicación biyectiva y es igualmente válido para conjuntos finitos e infinitos.

Como puede comprobarse en la ilustración, una aplicación biyectiva es el término referido al caso en que una aplicación es tanto inyectiva como suprayectiva. La posibilidad de establecer una aplicación biyectiva implica que ambos conjuntos cuentan con el mismo número de elementos.

Definiendo el infinito

Esta propiedad se refleja en los dominios numéricos. Es bien conocido que Galileo hizo notar que cada uno de los infinitos números naturales podía asociarse unívocamente con su cuadrado. Esta operación podría continuarse indefinidamente de manera que resultase en dos conjuntos emparejados, ambos infinitos. Pero, a pesar de ser infinitos, el conjunto de los cuadrados no abarca todos los números naturales, tan solo una parte de estos.

$$1 \longrightarrow 1$$

$$2 \longrightarrow 4$$

$$3 \longrightarrow 9$$

$$4 \longrightarrow 16$$

Lo mismo podría decirse de los conjunto de los infinitos números pares o impares. De nuevo, partes propias, que no contienen todos los elementos del conjunto original, pero tienen la misma cantidad. Muchos matemáticos han visto en esta propiedad, a saber, la posibilidad de establecer una aplicación biyectiva con una parte propia, como la característica definitoria de todo conjunto infinito, como puede ser el conjunto de los números naturales.

Aritmética del infinito

Zenón y el infinito

Una de las paradojas más célebres que atañen al infinito es aquella que se atribuye al sabio griego Zenón y que implica una desigual carrera entre el héroe Aquiles y una tortuga. En esta carrera, Aquiles cede cierta ventaja a la tortuga. Aparentemente, la mayor velocidad de Aquiles haría que, por mucho margen que se le diese a la tortuga, este acabaría adelantándola. Pero, este planteamiento aparentemente obvio esconde una paradoja. Recorrer una distancia cualquiera implica, como es obvio, recorrer antes la mitad de dicha distancia. Y a su vez, alcanzar esta mitad implica haber pasado la mitad de esta y así sucesivamente, con tramos cada vez más pequeños. En conclusión, por pequeño que sea el tramo a recorrer, Aquiles debería ejecutar un número interminable de pasos, por lo que nunca llegaría a su meta.

*Si Aquiles desea alcanzar el punto B partiendo de A, debe, en algún momento, cubrir primero la mitad de su recorrido* ($\frac{1}{2}$)*. Para recorrer la otra mitad debe recorrer primero la mitad de esa mitad y así sucesivamente* ($\frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \cdots $)*, extendiendo este razonamiento hasta el infinito.*

Series matemáticas

Esta paradoja es un ejemplo cómo a veces la lógica puede jugarnos una mala pasada. Aunque su resolución no es fácil, los avances matemáticos que se efectuaron a partir del siglo XVII permitieron el tratamiento matemático de procesos que conllevan una suma de infinitos pasos. En matemáticas denominamos serie infinita a la suma de los infinitos términos de una sucesión. La distancia recorrida de Aquiles, tal y como la hemos descrito, podría modelarse mediante la serie:

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} \cdots$$

Los griegos consideraban que una suma de infinitos términos, por pequeños que estos fueran, debía de resultar en el infinito. Aunque pueda parecer contrario a nuestra intuición, una suma infinita (como es la que estamos analizando) no siempre crece y crece fuera de toda comprensión. Esto es algo que no se comprendió de manera formal hasta dos mil años después de Zenón.

Series convergentes

No es objetivo de este artículo introducir la noción matemática de límite. Nos ajustaremos a definir el límite como un valor al que tiende una suma infinita a medida que sumamos los términos uno a uno y que por tanto se considera como el resultado final de la serie dada en su totalidad infinita. Muchas de estas series no tienen como resultado una magnitud infinita. Se denominan series convergentes cuando el límite de la suma converge en un punto preciso de la recta real. La anterior serie de sucesivas mitades es un tipo de serie geométrica descrita como:

\displaystyle\sum_{ n = 0 }^{\infty }ar^n

siempre que $\left| r \right|<1$. En el caso de la carrera de Aquiles $a = \frac{1}{2}$ y $r = \frac{1}{2}$. Así el primer término sería $\frac{1}{2}(\frac{1}{2})^0 = \frac{1}{2}$.

Demostración

Demostraremos ahora que el resultado de la serie infinita de Aquiles es igual a $1$. Con ello buscamos ejemplificar la posibilidad de resolver una suma infinita sin necesidad de sumar una infinita cantidad de términos. Llamemos a la suma completa $S$. Si multiplicamos cada término de la serie por $\frac{1}{2}$, observamos que la suma es ahora equivalente a haber extraído el primer término de la serie:

$$\frac{1}{2}S = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} \cdots$$

La diferencia entre ambas series, $S$ y $\frac{1}{2}S$, es pues de un medio:

$$S – \frac{1}{2}S = \frac{1}{2}$$

$$\frac{1}{2}S = \frac{1}{2}$$

$$S= 1$$

A pesar de tratarse de una suma infinita, hemos demostrado que su resultado converge a $1$.

Estas extrañas propiedades asociadas al infinito matemático han resultado en que muchos matemáticos, incluidos algunos de gran renombre, se mostraron cautelosos o críticos con ciertas formas de infinito actual. Por infinito actual se entiende el infinito concebido como una totalidad completa y dada, no meramente como un proceso que puede prolongarse indefinidamente. Así, por ejemplo, podemos hablar de los números naturales como una sucesión que podemos continuar sin límite, lo que encajaría con la interpretación del infinito en potencia, pero también como un conjunto infinito, un objeto matemático considerado en su totalidad, lo cual nos acercaría a la interpretación del infinito actual. Esta última idea resultó problemática porque parece contradecir intuiciones muy arraigadas sobre la cantidad y el tamaño. Antes de una teoría rigurosa de los conjuntos infinitos, no estaba claro qué operaciones podían realizarse legítimamente con esas totalidades infinitas sin caer en contradicciones o razonamientos engañosos. Sin embargo, veremos en los próximos artículos que hubo una mente que supo cómo lidiar con el infinito matemático. Esa mente fue Georg Cantor y a él le dedicaremos nuestros próximos artículos.

Lecturas Recomendadas

Bolzano, B. (1851) Paradojas del infinito.