La Teoría de Conjuntos de Cantor

David Baños Abril

17 de febrero de 2026 16 min lectura

El matemático Georg Cantor fue la mente que, de una vez por todas, lograría dotar al oscuro concepto de infinito de un tratamiento matemático preciso. Para ello, dio a luz a la soberbia Teoría de Conjuntos, la herramienta que le permitiría lidiar con el siempre esquivo concepto de infinito.

Paradojas del infinito

A finales del siglo XIX, el Análisis era una de las herramientas matemáticas más poderosas, principal nexo de unión entre la Matemática pura y sus aplicaciones en las Ciencias Naturales. A pesar de haber desterrado conceptos polémicos como el de los «infinitesimales», el Análisis estaba lejos del nivel de rigurosidad que comenzaba a exigirse en todas las ramas de la matemática. La aparición del siempre confuso y paradójico infinito en cada nuevo descubrimiento matemático suponía un quebradero de cabeza.

Infinito en potencia

Ya hemos visto en el artículo previo las dificultades asociadas al infinito matemático. Tales problemáticas fueron suficientes para que ciertos matemáticos aborreciesen el infinito y lo relegasen a las discusiones filosóficas. Para muchos de ellos, el infinito es simplemente la posibilidad de continuar un procedimiento una y otra vez. Es lo que Aristóteles denomina infinito en potencia, infinito como posibilidad. Para Gauss, lo importante es el límite, el punto hacia el que tiende una magnitud creciente. Un ejemplo es la sucesión $4.4, \, 4.49, \, 4.499, \cdots $… que podría continuar indefinidamente pero que tiene como límite $4.5$. Existen series, llamadas divergentes, que no convergen hacia un punto. Algunas de ellas crecen perpetuamente; decimos que tales series tienen su límite en $\infty$.

Cantor y el infinito

Una cosa es que una entidad racional como el ser humano sea capaz de reflexionar acerca de la posibilidad de continuar una operación de forma indefinida, como es la de contar, y otra entender el infinito como un objeto, cerrado y delimitado. Este tratamiento del infinito como infinito en acto, es decir, una unidad diferenciada, de alguna manera atenta contra la lógica más elemental, en tanto que pretende acotar y precisar aquello que se define justamente como carente de límite. Pero ya hemos visto que la resolución de series convergentes implica considerar a su interminable cantidad de términos como una única totalidad. Cualquier reducción a un número finito de términos ofrecerá tan solo una solución próxima.

El protagonista de este artículo será el que asuma esta última interpretación del infinito, llevándola a sus últimas consecuencias. Georg Cantor, nacido en el seno de la comunidad germana de San Petersburgo, de genialidad pocas veces superada en la historia de la matemática, era a la vez matemático, filósofo y teólogo, y siempre se mostró orgulloso de beber de tan diversas fuentes. A él se le debe la Teoría de Conjuntos, una nueva rama de la matemática que le permitiría lidiar conceptualmente con el infinito. Nos basaremos principalmente en su obra «Fundamentos para una Teoría General de Conjuntos», de 1883.

La Teoría de Conjuntos

La idea de conjunto en matemáticas no es muy diferente a la acepción cotidiana de la palabra. Cantor entiende por conjunto (Menge en el original alemán) una pluralidad de elementos determinados que puede ser pensada como una unidad. Conjunto por tanto, no es un simple listado de elementos. Es un conjunto si la totalidad de dichos elementos es en sí una unidad. Así, los elementos Chico, Groucho, Harpo y Zeppo forman un conjunto: Hermanos Marx. Como veremos, Cantor abre la posibilidad de conjuntos de infinitos elementos. Denotamos los conjuntos con llaves:

Hermanos Marx = {Chico, Groucho, Harpo, Zeppo}

La Teoría de Conjuntos aspira a ser el fundamento de toda la Aritmética, ofreciendo las bases a partir de las cuales definir con precisión los números naturales y las deducciones consecuentes. Para ello debe apoyarse en conceptos sencillos y claros, pero con suficiente potencial para sostener el enorme edificio de la matemática acumulado durante tantos siglos. Es así que en nuestra exposición ni siquiera daremos de antemano el concepto de número. Nuestro primer paso será precisamente justificar los números naturales a partir de esta noción de conjunto.

Potencia

Para comparar conjuntos desde el punto de vista de la cantidad de elementos, Cantor introduce la noción de potencia del conjunto. Se dice que dos conjuntos comparten una misma potencia si es posible establecer una aplicación biyectiva, es decir, se pueden formar parejas sin que ningún elemento quede desparejado.

Diagrama de dos conjuntos equipotentes unidos por una biyección — Ejemplo de dos conjuntos equipotentes. Como se ve, es irrelevante con qué elemento se forme cada pareja. Tampoco se presupone que los elementos estén ordenados. Mientras sea posible formar parejas sin que ningún elemento quede excluido de la biyección, serán conjuntos equipotentes.

Intuitivamente, el concepto de potencia encaja con la idea común de cantidad de elementos. Téngase esto como apoyo, pero será conveniente ceñirse a las estrictas definiciones matemáticas en lo que reste del artículo.

Conjuntos bien ordenados

Un concepto clave, sobre el que se sostiene toda la Teoría de Conjuntos de Cantor, es el de conjunto bien ordenado. Un conjunto está bien ordenado si existe un elemento inicial o primer elemento. Definimos elemento inicial como un elemento $n$ tal que, para cualquier elemento del conjunto $m$, entonces $n \preceq m$, es decir $n$ precede a $m$. Notar que usamos preceder para no limitarse a conjuntos numéricos entre los cuales existan relaciones de menor y mayor que. Para completar la definición de bien ordenado, esta restricción del primer elemento debe cumplirse para todos los posibles subconjuntos, todos deben tener un elemento inicial. En otras palabras, deben cumplirse dos condiciones; por una lado el orden lineal, que implica que entre cualesquiera dos elementos distintos del conjunto, siempre debe existir un vínculo del tipo posterior a, por otro, la condición del primer elemento ya comentada para todo subconjunto.

En la obra de Cantor, «bien ordenado» ha llegado a ser sinónimos de «conjunto». Si una multiplicidad de elementos es bien ordenable, entonces será un conjunto y viceversa. Esta identificación entre conjunto y posibilidad de buen orden pertenece al contexto histórico de Cantor. En la teoría moderna de conjuntos, sin embargo, un conjunto no se define por estar bien ordenado ni por ser bien ordenable: el buen orden es una estructura adicional. La afirmación de que todo conjunto puede ser bien ordenado es una consecuencia del Axioma de Elección, no parte de la definición misma de conjunto. Llegaremos a esto en los próximos capítulos. Pero por ahora mantengamos una perspectiva histórica del problema.

Diagrama de Conjuntos Bien Ordenados — En este ejemplo vemos arriba un conjunto finito bien ordenado. Todos los posibles subconjuntos de este, como el ejemplo de abajo, tienen un primer elemento, tal y como establece la definición de buen orden.

Números bien ordenados

Los números naturales son un ejemplo de conjunto bien ordenado linealmente:

\mathbb{N} = \left\{ 1, 2, 3, 4, \cdots \right\}

Un subconjunto de los números naturales como $\left\{ 1456, 45, 679, 13946695 \right\}$ puede bien ordenarse:

$$45 < 679 < 1456 < 13946695$$

Piénsese en los números enteros $\mathbb{Z}$ ordenados de esta manera:

$$ \mathbb{Z} = \left\{ \cdots -3,-2,-1,0,1,2,3\cdots \right\}$$

Tal orden es lineal, dado que entre cualesquiera dos pares de elementos podemos establecer una relación de sucesión. Sin embargo no es un buen orden, puesto que no existe un elemento inicial mínimo.

Teoría de Conjuntos y números

Llamamos enumeración (o conteo, Anzhal en alemán) a un caso de aplicación en la que, cuando se sucedan dos elementos en uno de los conjuntos, se sucedan también en el otro conjunto, abarcando el enumerador todos los elementos del conjunto enumerado. Si un conjunto está bien ordenado, posee una enumeración. Todos los conjuntos que pueden enumerarse entre sí, comparten un mismo tipo de orden.

Diagrama de un conjunto A enumerando un conjunto B

Diagrama de un conjunto B que no puede enumerar un conjunto A — *La imagen superior muestra una enumeración del conjunto* $A$ *al conjunto* $B$*. Decimos que* $A$ *enumera a* $B$*. Sin embargo en la imagen inferior comprobamos que* $B$ *no enumera a* $A$*, pues no alcanza a todos sus elementos. Cantor abstrae este hecho y afirma que estos conjuntos tienen un tipo de orden distinto y que el tipo de orden de* $A$ *es mayor que el de* $B$ .

Números ordinales

Si un conjunto de tipo de orden $\alpha$ enumera a otro de orden $\beta$, pero no a la inversa, es evidente que se trata de tipos de orden distintos. Y no solo eso, sino que entre ambos órdenes existe también un buen orden: $\alpha$ es mayor que $\beta$ o dicho más formalmente, $\beta$ es el tipo de orden de solo un segmento inicial de $\alpha$. De esto se deducen dos cosas. En la Teoría de Conjuntos, Cantor justifica los números sobre estos tipos de orden. La sucesión bien ordenada de tipos de orden es lo que Cantor llama números ordinales o simplemente números.

La primera conclusión que debemos sacar es que todo conjunto bien ordenado tendrá un tipo de orden, es decir, un número ordinal asociado. Además, estos tipos de orden no aparecen aislados: pueden compararse entre sí y disponerse en una sucesión ordenada. Así, a partir de un ordinal dado podemos considerar su sucesor, y luego el sucesor de este, formando una serie:

$$\alpha,\ \alpha^{\prime},\ \alpha^{\prime\prime},\ \alpha^{\prime\prime\prime},\ \cdots$$

En el caso más familiar, esta sucesión corresponde al orden de los números naturales:

$$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \cdots$$

Recurriremos a esta sucesión ordinal como escala de referencia, o como enumerador, para describir el tipo de orden de otros conjuntos bien ordenados.

Potencia y orden en la Teoría de Conjuntos

Hemos puesto la restricción de que el conteo de los conjuntos debe seguir un orden lineal. Como es evidente a nuestra experiencia cotidiana, esa enumeración no cambiará si hacemos el conteo siguiendo otro tipo de orden. Pero esto es porque tratamos con conjuntos finitos.

Diagrama de una biyección equivalente a una enumeración entre conjuntos A y B.

Diagrama de una biyección que no es equivalente a una enumeración entre conjuntos A y B. — Este diagrama muestra dos aplicaciones biyectivas diferentes. En ambas, ningún elemento queda desparejado, por lo que decimos que los dos conjuntos, azul y rosa, son equipotentes. Pero solo la aplicación superior es una enumeración, que es la que nos permite determinar el ordinal del conjunto. *Al tratarse de conjuntos finitos, la potencia y el ordinal coinciden*.

En el caso de conjuntos infinitos, veremos ahora que las enumeraciones resultarán en números ordinales diferentes para un mismo conjunto, dependiendo de cómo estén ordenados sus elementos. Por eso será necesario distinguir entre la cantidad de elementos de un conjunto (su potencia o cardinalidad) y su ordinal (o tipo de orden). Convendrá tener claro esto puesto que en su diferencia se fundamenta toda la obra inicial de Cantor.

Teoría de Conjuntos y ordinales transfinitos

El ordinal infinito

Las sucesiones $ a_1, a_2, a_3, \cdots $ y $ a_7, a_8, a_9, \cdots $ pueden ser igualmente enumeradas por los infinitos números naturales. ¿Qué ordinal le corresponde a una sucesión como esta? De la misma manera que en matemáticas hacemos uso de $n$ (o enésimo) para denotar un número natural cualquiera, Cantor concibió el número ordinal $\omega$ como el ordinal que sigue a todos los ordinales finitos; un tipo de orden que expresa una sucesión infinita dada en su forma completa. Así, los conjuntos ejemplo tienen ambos el ordinal $\omega$, el infinito ordinal. Cantor cumplía su propósito de establecer el infinito como un objeto delimitado y definido.

Debemos advertir que $\omega$ no es la totalidad de todos los números; es el número ordinal que enumera la sucesión completa de los enteros finitos. Como defensor del infinito en acto o actual, Cantor sustituyó el símbolo $\infty$ por $\omega$ precisamente para evitar la lectura de infinito potencial.

Los ordinales transfinitos

Pero veamos las sucesiones $ a_1, a_2, a_3, \cdots$ y $ b_2, b_3, \cdots, b_1$. Ambos tienen la misma cantidad de elementos, la potencia de los números naturales. Además, el primero tiene un ordinal $\omega$. Sin embargo, el segundo conjunto tiene una primera parte de orden $\omega$, seguida de un elemento, $b_1$. Este último está fuera de la enumeración infinita de $\omega$, la cual nunca llega a alcanzarlo.

Por tanto, un conjunto de orden $\omega$ no puede enumerar a otro con un tipo de orden mayor de $\omega$. Por ello, decimos que dicho conjunto tiene un ordinal $\omega + 1$. Así, a diferencia de los conjuntos finitos, el ordinal de un conjunto infinito depende de cómo este se ordene. Por ejemplo, $ a_2, a_3, \cdots, a_1 $ y $ a_3, \cdots, a_1, a_2 $ son las mismas sucesiones (en el sentido que tienen los mismos elementos y evidentemente la misma potencia) pero con diferente orden y por ello, distinto forman conjuntos de distinto ordinal, $\omega + 1$ y $\omega + 2$ respectivamente.

Diagrama que muestra dos conjuntos , uno de ordinal omega y otro de ordinal omega + 1 — Muy a pesar de tratarse del mismo conjunto infinito, el conjunto superior no puede enumerar al de abajo, dado que su tipo de orden es mayor que $\omega$.

El Primer Principio de Generación

Siempre es posible sumar la unidad a un número ya dado. A esto lo llama Cantor Primer Principio de Generación y es lo que justifica a los infinitos números naturales. Pero como vemos, también es aplicable al ordinal $\omega$, por lo que la serie seguiría con $\omega + 1$, $\omega + 2$, $\omega + 3$…

Todos estos números se conocen como ordinales transfinitos. Estos transfinitos se encuentran igualmente ordenados de menor a mayor ($\omega$ es el más pequeño de todos), y por lo tanto, deducimos que podemos sumarlos y restarlos, lo que justifica su tratamiento como números. Pero tienen propiedades «extrañas» a los números naturales. Sumar el infinito $\omega$ a $1$ devuelve $\omega$; la unidad inicial no repercute sobre el infinito. Pero si consideramos la sucesión ordenada infinita como un objeto dado en su forma completa y determinada, entonces sumar $1$ a $\omega$ resulta en un número completamente diferente: $\omega + 1$. No se cumple, por tanto, la propiedad conmutativa:

$$1+ \omega \neq \omega +1$$

El Segundo Principio de Generación

Cantor propone un Segundo Principio de Generación: establecer un ordinal límite al que tiende dicha sucesión infinita y que se define como un número mayor que cualquier miembro de la sucesión. En el caso de la sucesión de los naturales, su límite es, como vimos, el ordinal $\omega$. Para la sucesión $\omega + 1$, $\omega + 2$, $\omega + 3$… el ordinal límite es $\omega + \omega$ , o lo que es lo mismo $2\omega$ (en textos posteriores, Cantor diría $\omega \cdot 2$). Un ejemplo de conjunto de ordinal $2\omega$ sería la sucesión de los infinitos números pares, seguido de los infinitos impares:

$$\prec 2 \prec 4 \prec 6 \prec \cdots \prec 1 \prec 3 \prec 5 \prec 7 \prec \cdots \omega $$

Este nuevo principio de establecer límites infinitos podremos continuarlo una y otra vez: $2\omega + 1$, $2\omega + 2$, $2\omega + 3$… $2\omega + \omega = 3\omega$, y seguir con $4\omega$, $5\omega$, $6\omega$… $\omega\omega = \omega^2$, para saltar a $\omega^3$, $\omega^4$… $\omega^\omega$.

Matriz bisimensional para mostrar la enumeración de ordinales transfinitos. — Ejemplo de una matriz bidimensional de $\omega^2$. Podemos imaginar que dimensiones mayores de dos equivalen a ordinales transfinitos como $\omega^3$, $\omega^4$, $\omega^5$, etc…, incluso una matriz de infinitas dimensiones para el caso de $\omega^\omega$.

El Segundo Principio de Generación puede resultar poco justificado. Cantor no haría ningún esfuerzo por demostrar estos principios en un primer momento, aunque reconoció que eran una consecuencia lógica de considerar el infinito en acto. Serían los descubrimientos posteriores lo que acreditaría estos presupuestos.

El Tercer Principio

Parecería que con esta sucesión, simplemente nos perdemos en una desmesurada sucesión de monstruosas cantidades transfinitas. Poco habría de aportar el trabajo de Cantor si hubiera de terminar así. Pero la Teoría de Conjuntos todavía tiene mucho que ofrecer. Cantor establece un tercer principio, el Principio de Limitación: todos los ordinales transfinitos que hemos visto son equipotentes al conjunto de los números naturales, o lo que es lo mismo, designan conjuntos de una misma cantidad de elementos. Lo hemos visto para el caso de un conjunto ordinal de orden $2\omega$ formado por la infinita secuencia de números pares y números impares. Es evidente que siendo «doblemente infinito», contiene «tan solo» al conjunto de números naturales.

La matriz de $\omega^2$ puede ser totalmente cubierta por el conjunto de números naturales. Ninguna de las celdas quedaría sin cubrir siguiendo una ruta en diagonal a través de la matriz. Con esto demostramos que es posible una biyección entre el conjunto de los números naturales y un conjunto de ordinal $\omega^2$, y con ello, que la potencia de ambos conjuntos es la misma.

Un diagrama que resume lo visto de los ordinales transfinitos. A partir de la unidad surgen los infinitos números naturales (en azul) $1, 2, 3, 4, \cdots$ por el Principio de Adición. Luego, por el segundo Principio de Generación, toda esa secuencia completa se toma como un nuevo objeto matemático que denotamos como $\omega$ y al que puede aplicársele de nuevo el primer principio, resultando en la serie $\omega$, $\omega + 1$, $\omega + 2$, $\omega + 3 \cdots$. Definimos los ordinales transfinitos (en violeta), como todos los números generados por estos dos principios. Tienen todos ellos una misma potencia, la potencia de los números naturales $\left[ \omega \right]$ por el tercer principio o Principio de Limitación.

Más allá de los números naturales

Aunque el conjunto de los números naturales puede adoptar infinitos tipos de orden, es evidente que existe uno y solo un tipo que es el más pequeño de todos: $\omega$. “Todo conjunto numerable infinito admite un buen orden de tipo $\omega$, que es el menor ordinal posible para una totalidad numerable infinita. De la totalidad de conjuntos que pueden biyectarse entre sí decimos que comparten la misma potencia, o como denominaría en textos posteriores, el mismo número cardinal.

La pregunta que debemos hacernos a continuación es evidente ¿Existen conjuntos que tengan infinitos elementos y que su potencia sea mayor a la de los números naturales? La respuesta es sí y será el tema de nuestro próximo artículo.

Lecturas recomendadas

– Cantor, G. (2006 [1883]). Fundamentos para una teoría general de conjuntos, en Fundamentos para una teoría general de conjuntos. Escritos y correspondencia selecta, ed. José Ferreirós.

– Torretti, R. (1998). El paraíso de Cantor: la tradición conjuntista en la filosofía matemática.

– Ferreirós, J. (2007 [1999]). Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics, 2.ª ed.