El Continuo Matemático

Cardinalidad de los racionales

Nuestra tarea en este artículo consistirá en aplicar los conceptos de cardinalidad y transfinito a los conjuntos numéricos. Empezaremos por los números racionales, la cardinalidad del conjunto \(\mathbb{Q}\). Recordemos que, aunque el conjunto de los racionales es denso (dados dos racionales cualesquiera siempre existe entre ellos un racional diferente a ambos), tal conjunto no es continuo. La existencia de irracionales como \(\sqrt{2}\)​ o \(\pi\) demuestra que existen huecos que no corresponden a números racionales.

Con el orden usual,  \(\mathbb{Q}\) no tiene primer elemento porque no está acotado inferiormente. Además, por su densidad, ningún racional tiene un sucesor inmediato. Piénsese por ejemplo en el intervalo entre \(\frac{1}{2}\)​ y \(1\). No tiene mucho sentido preguntarse cuál es el número inmediatamente posterior a \(\frac{1}{2}\)​. A pesar de esto, es posible bien ordenar los racionales positivos siguiendo un orden como el de la imagen.

Tal orden resultaría en una sucesión evidentemente infinita, en la que, con total seguridad, aparecería todo racional posible. Dado que es posible indexar cada racional con un número natural (es decir, establecer una biyección), podemos afirmar, de nuevo de forma poco intuitiva, que la cardinalidad de los números racionales es la misma que la de los naturales, es decir, \(\left[ \mathbb{Q} \right] = \aleph_{0}\)​.

El continuo y los reales

Cantor consideraba en un primer momento que, al igual que con los racionales, era posible una biyección entre los números naturales y los números reales \(\mathbb{R}\) (racionales e irracionales), es decir, que ambos compartiesen una misma cardinalidad. El descubrimiento de que no era este el caso es el mayor de los logros de la teoría conjuntista de Cantor.

La recta continua

La recta de los reales también se conoce como recta continua, dado que no existen en ella discontinuidades. Si definimos, tal y como suele hacerse en la escuela, una línea como una totalidad de infinitos puntos, y teniendo conocimiento de la existencia de diferentes cantidades infinitas podemos preguntarnos ¿Cuántos puntos existen en una línea recta? ¿Cuál es la cardinalidad del conjunto de los reales? Debemos saber, como demostramos en la imagen de abajo, que esta pregunta es independiente de la longitud de la recta. Puede parecer poco evidente, pero todo segmento de recta tiene una misma «cantidad» de infinitos puntos.

Definir los reales

Antes de considerar la cardinalidad de los reales, será conveniente establecer una definición precisa de la naturaleza de este dominio numérico. A finales del siglo XIX la tarea no era nada fácil, puesto que aunque en geometría uno se topa constantemente con irracionales, una definición debida exclusivamente a principios aritméticos se torna compleja. Si se han definido los racionales a partir de los enteros, la idea principal consiste en partir de los primeros para precisar las propiedades del continuo. Veremos dos construcciones fundamentales contemporáneas, las cortaduras de Dedekind, matemático alemán con el que Cantor mantuvo una relación estrecha, y la definición establecida por el propio Cantor.

Las cortaduras de Dedekind

Ya sabemos que la recta racional presenta huecos: hay posiciones que no corresponden a ningún racional. Estas «brechas» son los números irracionales. Nos aprovecharemos de esta imagen para comprender el concepto de cortadura (Schnitt) debido al matemático alemán Richard Dedekind a finales del siglo XIX.

La idea de cortadura es sencilla: consiste en dividir el conjunto de los números racionales \(\mathbb{Q}\) en dos clases \(A\) y \(B\), de modo que todo elemento de \(A\) sea menor que todo elemento de \(B\). Además, \(A\) debe cumplir dos propiedades importantes. La primera es que, si un racional \(a\) pertenece a \(A\), entonces todo racional menor que \(a\) pertenece también a \(A\). En este sentido, \(A\) se extiende indefinidamente hacia el extremo inferior de la recta racional. La segunda es que \(A\) no tiene elemento máximo: para todo racional \(a\) perteneciente a \(A\), existe otro racional \(a’\), también perteneciente a \(A\), tal que \(a \lt a’\). Cuando una partición de este tipo no está determinada por ningún número racional, Dedekind la toma como definición de un nuevo número irracional.

Si la cortadura está producida por un número racional \(c\), podemos describir sus dos clases de la siguiente manera:

Subconjunto \(A\): todos los racionales menores que \(c\):
$$A = \left\{ a \in \mathbb{Q}: a \lt c \right\}$$

Subconjunto \(B\): todos los racionales mayores o iguales que \(c\):
$$B = \left\{ b \in \mathbb{Q}: b \geqslant c \right\}$$

En este caso, el número \(c\) pertenece al segundo conjunto: es el menor elemento de \(B\). Es evidente, además, que todo número \(a\) del subconjunto \(A\) será menor que cualquier número \(b\) del subconjunto \(B\). Si, en cambio, la cortadura no está producida por ningún racional, entonces no hay ningún elemento racional que ocupe exactamente la frontera entre \(A\) y \(B\). Esa frontera es precisamente el nuevo número irracional definido por la cortadura.

Definiendo los reales

Podemos utilizar la cortadura para definir cualquier número \(c\). A cada cortadura corresponde un número y viceversa. Cuando el número a definir es un racional, este es el menor elemento del conjunto \(B\), o lo que es lo mismo, el extremo superior de \(A\) pero que no pertenece a \(A\).

Pero la cortadura nos permite ir más allá y definir también los números irracionales. Dado que los subconjuntos los forman números exclusivamente racionales, el irracional no es un elemento de \(A\) ni de \(B\), sino el número que Dedekind introduce para corresponder a esa cortadura. A cada número irracional le corresponde una única partición de los racionales, por lo que dicho número queda completamente determinado por la cortadura.

Dado que un subconjunto determina el otro subconjunto, normalmente solo es necesario precisar la cortadura por medio del primer conjunto \(A\) de infinitos elementos. Así, el irracional \(\sqrt{2}\) queda definido como el conjunto \(A\) tal que:

$$A={a \in \mathbb{Q}: a\lt0 \lor a^2\lt2}$$

Esta definición puede parecer poco constructiva porque no ofrece una expresión decimal finita del número, pero sí proporciona un criterio exacto para decidir qué racionales pertenecen o no a la cortadura. Como veremos más adelante, definir los reales en términos de subconjuntos de los racionales resultará muy útil.

La definición de Cantor de los reales

La definición de Cantor recurre a las llamadas sucesiones de Cauchy, estudiadas por el matemático francés Augustin-Louis Cauchy algunas décadas antes de las investigaciones de Cantor. Se trata de sucesiones de números racionales cuyos términos acaban acercándose entre sí tanto como se quiera. Por ejemplo, en la siguiente sucesión infinita los términos proporcionan aproximaciones racionales cada vez más precisas:

$$3,\: 3.1,\: 3.14,\: 3.141,\: 3.1415,\: 3.14159,\: \cdots$$

Esta sucesión está formada únicamente por números racionales. No necesitamos presuponer todavía que exista un número real llamado \(\pi\) como límite de la sucesión; lo importante, por ahora, es que los términos de la sucesión se van estrechando entre sí. A partir de cierto punto, todos ellos quedan tan próximos unos de otros como deseemos.

Sucesiones de racionales

Una sucesión de racionales tiene tantos términos como números naturales. Podemos entenderla, por tanto, como una función matemática que asocia a cada número natural \(n\) un número racional \(q_n\):

$$s:\mathbb{N}\to\mathbb{Q}, \qquad s(n)=q_n$$

La sucesión puede escribirse entonces de la siguiente manera:

$$q_1,\: q_2,\: q_3,\: q_4,\: \cdots,\: q_n,\: \cdots$$

La propiedad fundamental de una sucesión de Cauchy es la siguiente: dado cualquier racional positivo \(\varepsilon\), existe un índice \(N\) tal que, a partir de ese punto, la distancia entre cualesquiera dos términos posteriores es menor que \(\varepsilon\). Es decir, para todos los índices \(m,n \geq N\), se cumple:

$$\left|q_m-q_n\right| \lt \varepsilon$$

Esta condición no dice simplemente que cada término esté cerca del término inmediatamente siguiente. Dice algo más fuerte: todos los términos suficientemente avanzados de la sucesión quedan próximos entre sí, aunque sus índices estén muy alejados.

En el ejemplo anterior:

$$3,\: 3.1,\: 3.14,\: 3.141,\: 3.1415,\: 3.14159,\: \cdots$$

si tomamos, por ejemplo, \(\varepsilon = 0.001\), vemos que, a partir de cierto índice, todos los términos de la sucesión difieren entre sí en menos de \(0.001\). Lo mismo ocurrirá con cualquier valor positivo de \(\varepsilon\), por pequeño que lo escojamos: bastará avanzar lo suficiente en la sucesión.

Sucesiones de Cauchy y reales

La idea decisiva es que una sucesión de Cauchy de racionales puede no determinar ningún número racional. Sus términos pueden aproximarse entre sí indefinidamente sin que exista un racional que ocupe exactamente el lugar hacia el que la sucesión apunta. En estos casos, Cantor interpreta la sucesión como determinación de un nuevo número: un número real.

Así, en lugar de partir de los números reales como algo ya dado, Cantor muestra cómo pueden construirse a partir de sucesiones de números racionales. Algunas de estas sucesiones determinan números racionales; otras determinan números irracionales. Pero en ambos casos el número real queda fijado por el comportamiento interno de la sucesión.

Ahora bien, es importante enfatizar una precisión: una misma cantidad real puede estar representada por muchas sucesiones racionales distintas. Por ejemplo, dos sucesiones diferentes pueden «apuntar» al mismo número y aproximarse entre sí hasta hacerse indistinguibles desde el punto de vista de la condición de Cauchy. Por ello no identificamos cada número real con una única sucesión, sino con una clase de sucesiones de Cauchy equivalentes. Podemos decir entonces que los puntos del continuo quedan determinados por clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales. Esta es la vía de Cantor para definir los reales a partir de los racionales, sin presuponer de antemano la existencia del continuo.

Subconjuntos de racionales

Hemos visto, por dos caminos distintos, que los números reales pueden determinarse a partir de los racionales. En Dedekind, cada real queda asociado a una cortadura, es decir, a cierta partición del conjunto \(\mathbb{Q}\). En Cantor, cada real queda asociado a una clase de sucesiones de Cauchy de números racionales. En ambos casos, el continuo no se introduce como una intuición geométrica primitiva, sino mediante construcciones aritméticas realizadas sobre el dominio de los racionales.

Esta observación permite conectar la definición de los reales con la teoría de conjuntos. Tanto Dedekind como Cantor muestran que un punto de la recta continua queda determinado a partir de una totalidad infinita de números racionales. Ahora bien, no cualquier conjunto infinito de racionales determina un punto de la recta real. Los números naturales, por ejemplo, forman un conjunto infinito de racionales, pero no señalan ninguna posición concreta del continuo. Para que la correspondencia funcione, esos racionales deben estar organizados de una manera precisa: como tramo izquierdo de una frontera, en Dedekind, o como sucesión de aproximaciones cada vez más estrechas, en Cantor.

Cadenas de infinitos 0s y 1s

Las definiciones de Dedekind y Cantor nos conducen a una misma idea: un número real puede quedar determinado por una totalidad infinita de números racionales organizada de manera precisa. Pero, para estudiar su cardinalidad, conviene representar esa información de la forma más sencilla posible. Una manera de hacerlo es traducir cada una de esas totalidades racionales en una cadena infinita de \(0\)s y \(1\)s.

Pensemos primero en una cortadura de Dedekind. Dado que los racionales pueden enumerarse como ya hemos visto en el primer apartado de este artículo, podemos escribirlos en una sucesión:

$$q_1,\ q_2,\ q_3,\ q_4,\ \cdots$$

Una cortadura selecciona algunos de esos racionales: los que quedan en el tramo izquierdo de la frontera. Podemos entonces recorrer la enumeración anterior y escribir un \(1\) cuando el racional \(q_n\) pertenece a ese tramo izquierdo, y un \(0\) cuando no pertenece. Así, la cortadura queda codificada por una cadena infinita:

$$1,\ 1,\ 0,\ 1,\ 0,\ 0,\ 1,\ \cdots$$

La misma idea puede aplicarse a la definición de Cantor. Una sucesión de racionales contiene una cantidad numerable de términos. Si fijamos una manera de enumerar los racionales, también podemos registrar qué racionales intervienen en una determinada aproximación.

Ahora bien, una cadena infinita de \(0\)s y \(1\)s es exactamente lo que necesitamos para describir un subconjunto de un conjunto numerable. Si enumeramos los racionales como \(q_1,q_2,q_3,\ldots\), cada cadena binaria determina un subconjunto de \(\mathbb{Q}\): el formado por aquellos \(q_n\) cuya posición lleva un \(1\). Y, a la inversa, cada subconjunto de \(\mathbb{Q}\) determina una cadena binaria infinita. Por eso, hablar de configuraciones infinitas de racionales equivale, desde el punto de vista de la cardinalidad, a hablar de cadenas infinitas de \(0\)s y \(1\)s. Como hay dos opciones posibles en cada una de las \(\aleph_0\) posiciones de la cadena, el número total de tales cadenas es:

$$2^{\aleph_0}$$

Así se entiende la conexión profunda entre el continuo y el conjunto potencia de los racionales. Los reales no se obtienen de cualquier subconjunto arbitrario de \(\mathbb{Q}\), sino de configuraciones racionales con una estructura determinada. Pero todas esas configuraciones viven dentro del espacio más amplio de las cadenas binarias infinitas, es decir, dentro del conjunto de todas las posibles selecciones de racionales. La cardinalidad del continuo (que suele denotarse como \(\mathfrak{c}\)) queda, por tanto, ligada a esa potencia:

$$\left[\mathbb{R}\right]=\mathfrak{c}=2^{\aleph_0}$$

Demostración por diagonal

Que la infinitud de los números reales es mayor al de los números naturales puede demostrarse recurriendo al argumento de la diagonal que hemos visto en el artículo previo. Si el número de reales fuera igual al de los naturales, podríamos indexar cada real con un natural y construir una tabla bidimensional.

Pero, para cualquier tabla como esta que se organice, podremos generar un número \(\varphi\) que, siendo real, no se encuentra en la tabla. Tal número será distinto a todos los de la tabla en al menos un dígito.

La Hipótesis del Continuo

En el artículo anterior vimos que el Teorema de Cantor garantiza la existencia de un cardinal mayor que \(\aleph_0\). Dado un conjunto numerable, como \(\mathbb{N}\), su conjunto potencia tiene necesariamente una cardinalidad superior:

$$\aleph_0 \lt 2^{\aleph_0}$$

Ahora podemos entender mejor qué significa ese nuevo cardinal. No se trata de una potencia abstracta surgida únicamente del conjunto potencia, sino de la cardinalidad del continuo: la cantidad de puntos de una recta, o equivalentemente, la cantidad de números reales.

$$\left[\mathbb{R}\right]=\mathfrak{c}=2^{\aleph_0}$$

Como ya adelantábamos, la pregunta decisiva es si este nuevo infinito es el primer cardinal que aparece después de \(\aleph_0\). Dicho de otro modo: sabemos que el continuo tiene una potencia mayor que la de los números naturales, pero ¿existe algún cardinal intermedio entre la potencia de los naturales y la potencia de la recta continua? Cantor conjeturó que no. Según su Hipótesis del Continuo, todo subconjunto infinito de la recta real debe tener, o bien la cardinalidad de los naturales, o bien la cardinalidad del continuo. No habría una tercera posibilidad intermedia. En notación moderna, esto se expresa diciendo que la cardinalidad del continuo coincide con el primer cardinal transfinito posterior a \(\aleph_0\):

$$\mathfrak{c}=\aleph_1$$

La cuestión marcaría profundamente el desarrollo posterior de la teoría de conjuntos. Mucho después de Cantor, los trabajos de Gödel y Cohen mostrarían que la Hipótesis del Continuo no puede resolverse a partir de los axiomas habituales de la teoría de conjuntos: ni ella ni su negación se derivan de ellos, siempre que dichos axiomas sean consistentes. Pero esa historia pertenece ya a una etapa posterior del paraíso cantoriano.

Lecturas recomendadas

 – Cantor, G. (1874). Sobre una propiedad del conjunto de todos los números algebraicos reales.

 – Cantor, G. (1883). Fundamentos para una teoría general de conjuntos, en Fundamentos para una teoría general de conjuntos. Escritos y correspondencia selecta, ed. José Ferreirós.

 – Cantor, G. (1891). Sobre una cuestión elemental de la teoría de conjuntos.

 – Dedekind, R. (1872). Continuidad y números irracionales.

 – Torretti, R. (1998). El paraíso de Cantor: la tradición conjuntista en la filosofía matemática.

 – Ferreirós, J. (1999). Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics.