El Intuicionismo de Brouwer

El intuicionismo de Brouwer

En los artículos anteriores hemos recorrido diferentes intentos de responder a la crisis de los fundamentos. Frege trató de reducir la Aritmética a la Lógica. Russell organizó las expresiones en una jerarquía de tipos para evitar las paradojas. Zermelo, Fraenkel y otros autores delimitaron la Teoría de Conjuntos mediante una estructura axiomática precisa.

Todos estos programas diferían profundamente entre sí, pero compartían una confianza fundamental: la posibilidad de expresar las matemáticas mediante un lenguaje lógico o axiomático cuyas reglas pudieran ser estudiadas con precisión. Luitzen Egbertus Jan Brouwer cuestionó esa confianza desde su raíz. Para él, las matemáticas no nacen del lenguaje, de los axiomas ni de la lógica, sino de una actividad constructiva de la mente.

Esta posición recibiría el nombre de intuicionismo. No se limitaba a proponer nuevas restricciones destinadas a evitar las paradojas. Alteraba el significado de nociones tan básicas como verdad, existencia, negación, conjunto o número real. Las matemáticas clásicas no debían simplemente ser aseguradas mediante una prueba de consistencia: era necesario reconstruirlas a partir de aquello que la intuición matemática permitiera crear efectivamente.

Luitzen Brouwer

Brouwer nació en los Países Bajos en 1881. Aunque hoy es recordado principalmente por el intuicionismo, fue también uno de los grandes topólogos de principios del siglo XX. Sus trabajos sobre dimensión, invariancia y puntos fijos le otorgaron un importante reconocimiento dentro de la matemática académica.

Las bases de su filosofía aparecieron ya en su tesis doctoral de 1907, Over de Grondslagen der Wiskunde («Sobre los fundamentos de las matemáticas»). En ella defendía que ningún objeto matemático podía considerarse legítimo si no había sido construido intuitivamente. Las paradojas ocupaban un lugar secundario en su diagnóstico: eran síntomas de un error más profundo, la confusión entre la matemática y el lenguaje utilizado para comunicarla.

En 1908 Brouwer cuestionó expresamente la validez universal del Principio del Tercero Excluido. En su conferencia inaugural de 1912, publicada posteriormente con el título Intuitionism and Formalism, presentó de manera más sistemática la oposición entre su concepción y las corrientes que confiaban en la formalización. A partir de 1918 comenzó además a desarrollar una matemática intuicionista propia, con resultados en Teoría de Conjuntos, Análisis y teoría del continuo.

Las matemáticas antes de la lógica

El logicismo de Frege y Russell había defendido que las matemáticas dependían de leyes lógicas más generales. Brouwer invierte esta relación: la lógica no fundamenta las matemáticas, sino que describe regularidades presentes en el lenguaje con el que comunicamos construcciones matemáticas.

Primero realizamos una construcción en la mente. Después podemos expresarla mediante palabras, símbolos o fórmulas. El lenguaje ayuda a recordar la construcción y permite que otra persona trate de reproducirla, pero la sucesión de signos no es idéntica al acto matemático original.

Desde esta perspectiva, una demostración no consiste primariamente en una cadena escrita de proposiciones relacionadas por reglas formales. Es la ejecución efectiva de una construcción. El texto de una demostración funciona como una serie de instrucciones para que el lector reconstruya por sí mismo el razonamiento.

El primer acto del intuicionismo

Brouwer describiría posteriormente su programa mediante dos grandes actos. El primero consiste en separar las matemáticas de su expresión lingüística. Una fórmula carece de contenido matemático si no acompaña a una construcción posible.

Esto explica su actitud ante las paradojas. Para Russell, la solución consistía en impedir ciertas combinaciones de símbolos mediante la Teoría de Tipos. Para Zermelo, era necesario restringir las operaciones legítimas de formación de conjuntos. Brouwer consideraba que una expresión paradójica ni siquiera llegaba a describir un objeto matemático: era una combinación lingüística a la que no correspondía ninguna construcción ejecutable.

La ausencia de contradicción tampoco bastaba para garantizar la existencia. Que una descripción no conduzca a un absurdo no significa que hayamos construido el objeto descrito. Esta diferencia será decisiva en la interpretación intuicionista de las demostraciones.

La intuición del tiempo

Si las matemáticas no surgen de la lógica, es necesario encontrar una experiencia más elemental que permita explicar su origen. Brouwer la sitúa en nuestra intuición del transcurso del tiempo.

La conciencia experimenta un momento que da paso a otro. El primer momento desaparece, pero es conservado por la memoria mientras el segundo se encuentra presente. De este modo percibimos dos momentos diferentes que, al mismo tiempo, forman una unidad temporal.

Brouwer denomina a esta estructura fundamental dualidad-unidad o dos-unidad: algo se divide en dos partes y, sin embargo, ambas permanecen reunidas dentro de una misma experiencia.

$$1,\quad 1+1,\quad 1+1+1,\quad\ldots$$

Al abstraer las cualidades particulares de los momentos y conservar únicamente su sucesión, obtenemos la posibilidad de repetir indefinidamente la operación. De esta intuición temporal surgen las secuencias, el orden y los números naturales.

Brouwer retoma así un motivo kantiano: las matemáticas dependen de una intuición a priori. Sin embargo, no conserva íntegramente la doctrina de Kant. Rechaza que el espacio euclidiano sea una forma necesaria de toda experiencia, pero mantiene la centralidad del tiempo como fuente de la construcción matemática.

El segundo acto del intuicionismo

El segundo acto consiste en reconocer que, a partir de esta intuición temporal, la mente puede desplegar libremente nuevas construcciones. Las matemáticas no forman un universo terminado que aguardase a ser descubierto. Son una actividad abierta en la que pueden aparecer nuevos objetos, métodos y secuencias.

El conocimiento matemático no queda encerrado en una lista definitiva de axiomas o reglas. Ningún sistema formal finito puede anticipar todas las construcciones que una mente creadora podría llegar a realizar.

Verdad y demostración

En la matemática clásica solemos imaginar que una proposición posee un valor de verdad con independencia de que sepamos demostrarla. Una afirmación matemática es verdadera o falsa según describa correctamente unos objetos previamente determinados.

Para el intuicionismo, en cambio, afirmar que una proposición es verdadera significa poseer una construcción que la demuestre. La verdad matemática no se separa de la posibilidad de demostrar.

Esto no significa que una proposición sea verdadera simplemente porque alguien crea haberla demostrado. La construcción debe poder ser efectivamente ejecutada y verificada. Pero no existe una verdad matemática completamente independiente de toda construcción posible.

El significado de los conectores lógicos

Los conectores lógicos adquieren entonces un significado constructivo. Sea \(A\) una proposición matemática:

• Demostrar \(A\land B\) exige proporcionar una demostración de \(A\) y otra de \(B\).
• Demostrar \(A\lor B\) exige proporcionar una demostración de \(A\) o una demostración de \(B\), indicando cuál de las dos se ha obtenido.
• Demostrar \(A\rightarrow B\) exige ofrecer un método que transforme cualquier demostración de \(A\) en una demostración de \(B\).
• Demostrar \(\neg A\) exige ofrecer un método que transforme cualquier supuesta demostración de \(A\) en una contradicción.
• Demostrar \(\exists x\,P(x)\) exige construir un objeto concreto \(a\) y demostrar que \(P(a)\).
• Demostrar \(\forall x\,P(x)\) exige proporcionar un método que, aplicado a cualquier objeto admisible \(a\), produzca una demostración de \(P(a)\).

Esta interpretación sería formalizada posteriormente por Arend Heyting y es conocida hoy como interpretación de Brouwer-Heyting-Kolmogórov. No debe confundirse, sin embargo, con la filosofía completa de Brouwer: para este último, ningún sistema de reglas lingüísticas podía agotar la actividad matemática intuitiva.

Existencia matemática

La diferencia resulta especialmente clara en las afirmaciones existenciales. En la matemática clásica podemos demostrar que existe un objeto suponiendo que no existe y derivando una contradicción:

$$\neg\neg\exists x\,P(x)$$

Clásicamente, la doble negación permite concluir:

$$\exists x\,P(x)$$

Pero demostrar que la inexistencia de \(x\) es imposible no proporciona necesariamente un objeto concreto que satisfaga \(P\). Para Brouwer, una prueba de existencia debe contener o permitir construir un testigo.

Esta exigencia recuerda las objeciones formuladas contra el Axioma de Elección: afirmar que existe una función no equivale a mostrar cómo se construye. El intuicionismo convierte esta diferencia en un principio general acerca de toda existencia matemática.

Negación y doble negación

En la lógica intuicionista, negar una proposición no significa simplemente asignarle el valor «falso». Significa demostrar que cualquier intento de construirla conduce a contradicción:

$$\neg A\equiv A\rightarrow\bot$$

De una demostración de \(A\) podemos concluir \(\neg\neg A\), pues una prueba de \(A\) impide que \(A\) conduzca a contradicción:

$$A\rightarrow\neg\neg A$$

El camino inverso no es válido en general:

$$\neg\neg A\nrightarrow A$$

La imposibilidad de refutar \(A\) no constituye todavía una construcción de \(A\). Esta diferencia entre afirmar y no poder negar se convierte en una de las separaciones fundamentales entre la lógica clásica y la intuicionista.

El Principio del Tercero Excluido

El principio clásico más conocido que Brouwer rechaza en su aplicación irrestricta es el Principio del Tercero Excluido:

$$A\lor\neg A$$

Según la lógica clásica, toda proposición es verdadera o falsa. No existe una tercera posibilidad. Pero, interpretado constructivamente, afirmar \(A\lor\neg A\) exige disponer de una demostración de \(A\) o de una demostración de que \(A\) conduce a contradicción.

No existe ninguna razón general para suponer que, ante cualquier problema matemático, poseemos necesariamente una de esas dos construcciones. El principio clásico transforma la ausencia actual de una solución en la afirmación de que una solución debe existir de uno de los dos lados.

Dominios finitos

El tercero excluido no plantea dificultades cuando la propiedad considerada puede decidirse mediante una comprobación finita. Supongamos que deseamos determinar si alguno de los números del conjunto

$$A=\{1,2,3,4,5\}$$

satisface una propiedad decidible \(P\). Podemos examinar sus elementos uno tras otro. El procedimiento terminará ofreciendo un ejemplo o demostrando que ninguno cumple la condición.

En dominios finitos, la separación entre matemática clásica e intuicionista suele desaparecer porque las alternativas pueden ser verificadas efectivamente.

Dominios infinitos

La situación cambia cuando la búsqueda se extiende sobre una totalidad infinita. Consideremos una propiedad decidible \(P(n)\) de los números naturales y la proposición:

$$\exists n\,P(n)$$

Podemos comprobar sucesivamente \(P(0)\), \(P(1)\), \(P(2)\), etc. Si encontramos un número que cumpla la propiedad, habremos demostrado la existencia. Pero si tal número no existe, la búsqueda no alcanzará por sí sola un momento final en el que podamos concluir que hemos examinado todos los naturales.

Para demostrar la negación necesitaríamos una construcción adicional que mostrase que ningún número puede satisfacer \(P\). Mientras no poseamos una demostración de la existencia ni de su imposibilidad, el intuicionismo no acepta la disyunción:

$$\exists n\,P(n)\lor\neg\exists n\,P(n)$$

La proposición no se considera falsa. Simplemente no ha sido demostrada.

Las demostraciones por contradicción

El intuicionismo no rechaza toda demostración por contradicción. Es perfectamente legítimo demostrar \(\neg A\) suponiendo \(A\) y obteniendo un absurdo. Lo que no se acepta en general es demostrar \(A\) suponiendo \(\neg A\), alcanzando una contradicción y eliminando después la doble negación.

La diferencia puede expresarse así:

$$A\rightarrow\neg\neg A$$

$$\neg\neg A\not\rightarrow A$$

Por ello, muchos teoremas clásicos demostrados indirectamente deben recibir nuevas demostraciones constructivas o una formulación más débil.

Conjuntos y especies

La axiomatización de Zermelo-Fraenkel había tratado de controlar qué conjuntos podían formarse. Brouwer objeta algo anterior: un conjunto no puede considerarse una totalidad terminada simplemente porque una fórmula o un axioma afirme su existencia.

En lugar de la noción clásica de propiedad o conjunto, Brouwer emplea el concepto de especie. Una especie es una propiedad que puede aplicarse a entidades matemáticas ya construidas. Un objeto pertenece a una especie cuando poseemos una demostración de que satisface su propiedad característica.

Pero el hecho de no haber demostrado que un objeto pertenece a una especie no significa que hayamos demostrado que no pertenece. Existen tres situaciones diferentes:

• poseemos una construcción que demuestra que el objeto pertenece;
• poseemos una construcción que demuestra que su pertenencia conduce a contradicción;
• no poseemos todavía ninguna de las dos construcciones.

Por tanto, una especie no divide necesariamente todos los objetos en dos regiones completamente determinadas. La extensión de una propiedad puede crecer a medida que aparecen nuevas construcciones y demostraciones.

El continuo intuicionista

Las diferencias entre la matemática clásica y el intuicionismo resultan especialmente profundas en la definición de los números reales y del continuo.

Dedekind, Cantor y la posterior Teoría de Conjuntos concebían el continuo como una totalidad completa de puntos. Cada número real existía como un objeto determinado, aunque no pudiéramos describirlo individualmente. El conjunto de los reales estaba dado de una sola vez.

Brouwer rechaza esta concepción. El continuo no es un conjunto acabado de puntos previamente existentes. Es un medio en el que pueden desarrollarse indefinidamente nuevas determinaciones.

Sucesiones determinadas por una ley

Un número real puede aproximarse mediante una sucesión de números racionales:

$$a_0,a_1,a_2,a_3,\ldots$$

En algunos casos existe una ley que determina de antemano cada término. Por ejemplo:

$$a_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{2^k}$$

Conocida la regla, podemos calcular cualquier término de la sucesión. Brouwer denomina a estas construcciones sucesiones regidas por una ley.

Sucesiones de elección

El intuicionismo permite además las sucesiones de elección. En ellas, los términos no tienen por qué estar determinados de antemano por una fórmula. El sujeto matemático puede escoger nuevos valores a medida que la sucesión se desarrolla, respetando únicamente las condiciones impuestas por su construcción.

En un momento determinado solo poseemos una parte finita:

$$a_0,a_1,\ldots,a_n$$

Los términos posteriores todavía no han sido elegidos. No están ocultos esperando a ser descubiertos, sino que permanecen genuinamente abiertos.

Un número real representado por una sucesión de elección es, por tanto, un objeto en desarrollo. Podemos conocer aproximaciones cada vez más precisas, pero no debemos atribuirle automáticamente todas las propiedades que poseería un objeto completamente determinado.

Un continuo en devenir

Las sucesiones de elección permiten a Brouwer reconstruir el continuo sin reducirlo a una colección estática de puntos aislados. El continuo se encuentra en permanente proceso de determinación. Sus elementos pueden adquirir nuevas propiedades a medida que avanza la construcción.

Por esta razón, la matemática intuicionista no es simplemente la matemática clásica a la que se le ha retirado el Principio del Tercero Excluido. Introduce objetos y métodos propios. Algunos conceptos clásicos se dividen en varias nociones constructivamente distintas; otros teoremas adoptan formas nuevas.

Intuicionismo y formalismo

Durante la década de 1920, el intuicionismo se convirtió en uno de los protagonistas del debate de los fundamentos. Brouwer encontró temporalmente un importante aliado en Hermann Weyl, discípulo de Hilbert, quien expresó serias dudas sobre la Teoría de Conjuntos y se aproximó durante algunos años al programa intuicionista.

David Hilbert reaccionó con dureza. Consideraba que eliminar los razonamientos no constructivos suponía abandonar una parte inmensa y fecunda de las matemáticas. Su objetivo no era construir cada objeto de manera intuicionista, sino justificar el uso de los métodos clásicos demostrando que los sistemas formales que los contenían eran consistentes.

La oposición no debe simplificarse como una disputa entre matemáticas con significado y un mero juego de símbolos. Hilbert también atribuía contenido a una parte elemental de la matemática y exigía que las demostraciones de consistencia se apoyaran en razonamientos finitos y seguros. El desacuerdo concernía a si esa seguridad podía legitimar indirectamente el edificio ideal de la matemática clásica.

El paraíso de Cantor

Hilbert defendía especialmente la Teoría de Conjuntos y los números transfinitos de Cantor. Para él, renunciar a estos recursos por no poder construir individualmente todos sus objetos habría supuesto una mutilación injustificada de la matemática.

Brouwer respondía que un sistema consistente de signos no adquiría por ello contenido matemático. Las totalidades transfinitas, las funciones de elección o los puntos arbitrarios del continuo solo podían aceptarse cuando correspondieran a construcciones legítimas.

El conflicto se extendió también al ámbito personal e institucional. Brouwer y Hilbert mantuvieron una amarga disputa que culminó a finales de la década de 1920 con la expulsión de Brouwer del consejo editorial de la revista Mathematische Annalen.

Heyting y la lógica intuicionista

Brouwer nunca consideró que la formalización de una lógica fuera el objetivo principal del intuicionismo. La lógica era para él una descripción secundaria del lenguaje matemático, incapaz de agotar las posibilidades creadoras de la mente.

Sin embargo, su discípulo Arend Heyting sistematizó en 1930 los principios lógicos compatibles con la matemática intuicionista. El resultado fue la lógica intuicionista, un sistema formal que conserva muchas reglas clásicas pero no acepta, entre otros principios, el tercero excluido ni la eliminación general de la doble negación.

Esta formalización permitió estudiar técnicamente el razonamiento constructivo y compararlo con la lógica clásica. Paradójicamente, una filosofía que había nacido criticando la identificación entre matemáticas y lenguaje terminó inspirando uno de los sistemas formales más importantes de la lógica moderna.

Conclusión

El intuicionismo de Brouwer ofrece una respuesta a la crisis de fundamentos radicalmente distinta de las examinadas hasta ahora. No pretende asegurar la matemática clásica mediante una reducción lógica, una jerarquía de tipos o una lista de axiomas. Cuestiona que ese edificio clásico posea contenido matemático allí donde no puede reconstruirse mediante actos efectivos de la intuición.

Para Brouwer, las matemáticas son una creación de la mente fundada en la experiencia temporal de la sucesión. El lenguaje y la lógica permiten comunicar y estudiar las construcciones, pero no las originan. Una proposición es verdadera cuando poseemos una construcción que la demuestra; afirmar una existencia exige construir un testigo; una disyunción exige decidir uno de sus términos.

Estas exigencias conducen al rechazo del uso irrestricto del Principio del Tercero Excluido y de la eliminación de la doble negación. También transforman la concepción de conjunto y de número real. El continuo deja de ser una totalidad completa de puntos y pasa a entenderse como una estructura en desarrollo, desplegada mediante sucesiones de elección.

El precio de esta seguridad constructiva es la renuncia a numerosos razonamientos admitidos por la matemática clásica. Para Hilbert, tal renuncia amenazaba con destruir algunos de sus mayores logros. El enfrentamiento entre ambos autores definiría una parte fundamental del debate de los fundamentos durante la década de 1920.

En el próximo artículo estudiaremos la respuesta formalista asociada al programa de Hilbert: el intento de conservar la matemática clásica convirtiendo sus demostraciones en objetos de una nueva disciplina, la metamatemática.

Lecturas recomendadas

• Brouwer, L. E. J. (1907). Over de Grondslagen der Wiskunde.
• Brouwer, L. E. J. (1912). «Intuitionism and Formalism».
• Brouwer, L. E. J. (1918). Begründung der Mengenlehre unabhängig vom logischen Satz vom ausgeschlossenen Dritten.
• Brouwer, L. E. J. (1923). «On the Significance of the Principle of the Excluded Middle in Mathematics, Especially in Function Theory».
• Heyting, A. (1956). Intuitionism: An Introduction.
• van Stigt, W. P. (1990). Brouwer’s Intuitionism.
• Troelstra, A. S. y van Dalen, D. (1988). Constructivism in Mathematics.