Los Números Transfinitos

Números cardinales

Repasemos lo visto en el artículo previo. Cantor distinguió números ordinales y cardinales. Esta diferencia solo salta a la vista en el caso de conjuntos infinitos como el de los números naturales, con los que podemos construir infinitas sucesiones de tipos de orden distintos. Sin embargo, esto no altera la cantidad de elementos o potencia de dicho conjunto. ¿Existen infinitos mayores en cantidad, es decir, con potencia superior a los números naturales? En este artículo mostraremos que sí.

Como se ha visto previamente, llamamos potencia a una propiedad que surge de establecer emparejamientos entre elementos de dos grupos sin importar cómo estén ordenados sus elementos. Si cada elemento de un conjunto queda emparejado con exactamente un elemento del otro, y ningún elemento de ninguno de los dos conjuntos queda fuera, tenemos una biyección.

Intuitivamente la potencia no es otra cosa que la cantidad de elementos de un conjunto, y por ello, que sea posible una biyección entre conjuntos (que sean equipotentes) implica que ambos tengan la misma cantidad de elementos. No siempre será posible establecer biyecciones, lo que corresponde con conjuntos de potencias diferentes. Cantor llamará número cardinal a la expresión numérica de esa potencia.

Operaciones aritméticas con cardinales

En virtud de su tratamiento en calidad de «números», Cantor definió las operaciones aritméticas aplicables a estos cardinales. Tales definiciones se encuentran, cómo no, en términos de conjuntos y sus elementos. Para un determinado conjunto \(A\), denotaremos su cardinal con \(\left[A\right]\).

Estos cardinales pueden sumarse o multiplicarse, pero para los objetivos de este artículo será de especial interés la operación de exponenciación. Dado dos conjuntos \(A\) y \(B\), Cantor definió la operación \(\left[ B \right]^{\left[ A \right]}\) como el número de posibles aplicaciones de \(A\) en \(B\). Veámoslo con un ejemplo de conjuntos finitos. Dados dos conjuntos

\(A=\left\{ \alpha, \beta, \gamma \right\}\), con cardinal \(\left[ A \right]=2\)

\(B=\left\{ a,b,c \right\}\), con cardinal \(\left[ B \right]=3\)

\(\left[ B \right]^{\left[ A \right]}=8\), dado que existen nueve posibles aplicaciones de \(A\) en \(B\), que serán:

\(α ⇒a \qquad β⇒a​\)

\(α ⇒b \qquad β⇒b​\)

\(α ⇒c \qquad β⇒c​\)

\(α ⇒a \qquad β⇒b​\)

\(α ⇒b \qquad β⇒a​\)

\(α ⇒a \qquad β⇒c​\)

\(α ⇒c \qquad β⇒a\)​

\(α ⇒b \qquad β⇒c\)​

\(α ⇒c \qquad β⇒b\)​

Podemos comprobar cómo esta operación corresponde a la noción familiar de exponenciación.

El Teorema de Cantor

El Teorema de Cantor es una pieza fundamental en toda la Teoría conjuntista. Es la tesis que abre la puerta a los diferentes infinitos que caracterizan a la obra de Cantor, los números transfinitos.

Conjunto potencia

Nos es familiar la aseveración de que, dado unos objetos, el número de posibles combinaciones con ellos es mayor que el de los propios objetos. Así, dado el conjunto \(A=\left\{ a,b,c \right\}\) podemos formar los subconjuntos \(\left\{ a \right\}\), \(\left\{ b \right\}\), \(\left\{ c \right\}\), \(\left\{ a,b \right\}\), \(\left\{ a,c \right\}\), \(\left\{ b,c \right\}\), \(\left\{ a,b,c \right\}\) y \( \emptyset \) que forman todos un mismo conjunto (se incluye el conjunto total y el conjunto vacío). A este conjunto de subconjuntos lo denominamos conjunto potencia o \(\mathcal{P}A\).

Vemos que el primer conjunto tiene una cardinalidad \(\left[ A \right]=3 \), mientras que el segundo es \(\left[\mathcal{P}A \right]=8 \). El Teorema de Cantor establece que el número de elementos del conjunto potencia es mayor que el del conjunto en sí, tal y como nos muestra ese ejemplo.

$$\left[ A \right] \lt \left[\mathcal{P}A \right]$$

Lo interesante de este resultado es que es generalizable a conjuntos infinitos. Dado un conjunto equipotente al conjunto de los números naturales, su conjunto potencia será evidentemente infinito, pero un infinito mayor. Lo demostraremos ahora.

Subconjuntos y cadenas binarias

Antes de introducir la demostración, estableceremos la equivalencia entre el conjunto potencia y la exponenciación. Dado dos conjuntos finitos, un conjunto de cardinal 2, como puede ser por ejemplo el conjunto binario \(B=\left\{ 0,1 \right\}\) y el conjunto \(A=\left\{ \alpha, \beta, \gamma \right\}\), demostraremos que el cardinal del conjunto  potencia de \(A\) es igual a \(\left[ B \right]^{\left[ A \right]}\), o lo que es lo mismo,  \(2^{\left[ A \right]}=8\). Como vimos antes, \(\left[ B \right]^{\left[ A \right]}\) es igual al número de aplicaciones de \(A\) en \(B\), es decir, ocho aplicaciones.

\(\alpha ⇒0 \qquad \beta⇒0​\ \qquad \gamma⇒0\)

\(\alpha ⇒1 \qquad \beta⇒0​\ \qquad \gamma⇒0\)

\(\alpha ⇒0 \qquad \beta⇒1​\ \qquad \gamma⇒0\)

\(\alpha ⇒0 \qquad \beta⇒0​\ \qquad \gamma⇒1\)

\(\alpha ⇒1 \qquad \beta⇒1​\ \qquad \gamma⇒0\)

\(\alpha ⇒1 \qquad \beta⇒0​\ \qquad \gamma⇒1\)

\(\alpha ⇒0 \qquad \beta⇒1​\ \qquad \gamma⇒1\)

\(\alpha ⇒1 \qquad \beta⇒1\ \qquad \gamma⇒1\)

Cada una de ellas corresponde a una cadena de \(1\)s y \(0\)s:

\(000\)

\(100\)

\(010\)

\(001\)

\(110\)

\(101\)

\(011\)

\(111\)

Que a su vez, son equivalentes a los subconjuntos del conjunto \(A\), si tomamos el \(0\) como ausencia del elemento y \(1\) como presencia:

\(\emptyset \)

\(\left\{ \alpha\right\}\)

\(\left\{ \beta \right\}\)

\(\left\{\gamma \right\}\)

\(\left\{ \alpha, \beta \right\}\)

\(\left\{ \alpha, \gamma \right\}\)

\(\left\{\beta, \gamma \right\}\)

\(\left\{ \alpha, \beta, \gamma \right\}\)

Subconjuntos infinitos

El ejemplo anterior era sobre un conjunto finito, pero la correspondencia que hemos usado no depende de que el conjunto tenga tres, cuatro o cualquier cantidad de elementos. La idea general es esta: a cada subconjunto de \(A\) le corresponde una aplicación de \(A\) en \(\left\{0,1\right\}\), indicando con \(1\) que el elemento pertenece al subconjunto y con \(0\) que no pertenece. Y, a la inversa, cada aplicación de \(A\) en \(\left\{0,1\right\}\) determina un único subconjunto de \(A\).

Por eso, también para conjuntos infinitos, el conjunto potencia de \(A\) tiene la misma potencia que el conjunto de aplicaciones de \(A\) en \(\left\{0,1\right\}\):

$$\left[\mathcal{P}A \right] = 2^{\left[A \right]}$$

Esta equivalencia es pues igualmente válida para los números naturales \(\mathbb{N}=\left\{ 1, 2, 3, 4, \cdots \right\}\):

$$\left[\mathcal{P}\mathbb{N} \right] = 2^{\left[ \mathbb{N} \right]}$$

La diferencia será en que ahora la aplicación resultará en todas las posibles cadenas de infinitos \(0\)s y \(1\)s, o lo que es lo mismo aplicaciones \( \mathbb{N} \to \left\{0,1\right\}\). Evidentemente el número de cadenas será infinito, pero lo que demostraremos ahora según el Teorema de Cantor es que este infinito es mayor que \(\left[ \omega \right]\).

Diagonal de Cantor

Cantor obtuvo fama imperecedera por su demostración por diagonalización. Aunque debe decirse que no fue pionero en su uso y que solo recurrió a ella en sus obras más tardías, es la llave a través de la que muchos conocen las obras de Cantor, hasta el punto de conocerse como Diagonal de Cantor. Y es que pocas veces en la historia de la matemática una demostración tan simple ha resultado tan significativa.

Como muchas otras demostraciones, estará basada en el método de reducción al absurdo: partiremos de la hipótesis de que el cardinal de un conjunto equipotente a los números naturales y el cardinal de su conjunto potencia son iguales, y tal presupuesto nos arrastrará a una contradicción que invalidará la premisa inicial.

Matriz Infinita

La idea es sencilla. Si tuviesen el mismo cardinal, por la propia definición, sería posible establecer una biyección entre ambos conjuntos, emparejando sus elementos sin que ninguno quedase aislado. Hemos establecido antes que los subconjuntos de \(\mathbb{N}\) son equivalentes a cadenas infinitas de \(0\)s y \(1\)s. Asociemos pues cada cadena infinita con un número natural, que llamaremos índice. Si tal biyección pudiera darse, todas las cadenas posibles se encontrarían en una matriz como la de la imagen, indexadas por un entero natural. 

El punto reside en que, para cualquier matriz que se haga, podemos generar una cadena que no esté contenido en ella. Para hallarla solo es necesario generar una nueva cadena cuyo primer dígito sea \(1\) si el primer dígito de la primera cadena es \(0\) o a la inversa. El segundo dígito será también \(1\) o \(0\) si el segundo dígito de la segunda cadena es \(0\) o \(1\) respectivamente. Y así sucesivamente, moviéndose en diagonal a través de la matriz infinita.

Dado que la nueva cadena se diferencia en al menos una posición del resto de cadenas que aparecen en la lista, dicha cadena no puede encontrarse en esta lista, por infinita que sea. Para cada ordenación de las cadenas en la matriz, la «nueva cadena» será diferente, pero siempre existirá una. Por ello concluimos que los números naturales no enumeran al número de subconjuntos de un conjunto de potencia \(\left[ \mathbb{N} \right]\). Siempre existirá un subconjunto desparejado, fuera de la indexación.

De esta manera, concluimos que el Teorema de Cantor para el infinito de los números naturales podría resumirse así:

$$\left[\mathcal{P} \mathbb{N} \right] \gt \left[\mathbb{N} \right]$$

Los álef

Por medio del conjunto potencia y de la exponenciación de los cardinales hemos generado un nuevo tipo de cardinal infinito. Con ello afirmamos nada más y nada menos la existencia de dos infinitos diferentes, uno mayor que otro. Estos diferentes infinitos, Cantor los denominó números transfinitos. En las últimas obras de Cantor, establece el símbolo \(\aleph\)​ para denotar estos cardinales transfinitos, la letra álef del alfabeto hebreo. Cantor era un hombre de profundas convicciones religiosas, y su matemática rara vez aparece completamente separada de la metafísica. Cristiano, pero de supuestos orígenes judíos, se cree que eligió esta letra por ser la primera del término איןסוף, Ein Soph, «lo inabarcable», el principio divino preexistente que da origen al mundo en la mística cabalística. El gesto encajaba bien con la ambición de su teoría. La misma idea de infinito, que precisamente se define por nuestra incapacidad de acotarse, encaja perfectamente con esta referencia a la Cábala. Su teoría del infinito aspiraba a mostrar que allí donde la tradición veía un abismo inconcebible, la razón podía descubrir estructura, jerarquía y número.

Así, al primer transfinito ordinal, que en el artículo previo denotamos como \(\left[\omega\right]\), sumaremos ahora \(\aleph_{0}\)​ o «álef sub cero», el más pequeño de los números cardinales transfinitos.

Infinitos Álef

En el artículo previo vimos que un conjunto de una misma potencia, la potencia de los números naturales o \(\aleph_{0}\), acogía infinitos tipos de orden u ordinales. Por muchas veces que sumásemos o multiplicásemos ordinales, el conjunto generado no tenía una cardinalidad mayor a \(\aleph_{0}\)​. Sin embargo, la nueva potencia, \(2^{\aleph_{0}}\)​, es estrictamente mayor.

$$2^{\aleph_{0}} > \aleph_{0}$$

Pero no acaba aquí la cuestión. El Teorema de Cantor no vale solo para los números naturales, sino para cualquier conjunto. Por tanto, una vez obtenida la nueva potencia \(2^{\aleph_0}\), podemos volver a tomar su conjunto potencia, obteniendo una potencia todavía mayor:

$$2^{2^{\aleph_0}} \gt 2^{\aleph_0}$$

Y nada impide repetir el procedimiento una y otra vez. Cada nuevo conjunto potencia abre paso a una potencia superior, dando lugar a una jerarquía indefinida de infinitos cada vez mayores. El lugar exacto que ocupa \(2^{\aleph_0}\) dentro de la escala de los álefs será precisamente una de las cuestiones centrales ligadas al problema del continuo.

Cada nueva potencia infinita no introduce únicamente un nuevo «tamaño» de conjunto. También abre una nueva región de tipos de orden. En el marco cantoriano, si una totalidad de esa potencia puede ser bien ordenada, habrá un primer ordinal capaz de enumerarla; y, a partir de él, podrán formarse nuevos ordinales mediante los mismos procedimientos ya vistos: añadiendo sucesores, tomando límites y prolongando la serie transfinita. Así como \(\omega\) es el primer ordinal asociado a la potencia de los números naturales, una potencia superior tendrá también sus propios ordinales iniciales y sus propias prolongaciones transfinitas. El Teorema de Cantor garantiza que siempre podemos pasar a una potencia mayor tomando el conjunto potencia; lo que queda abierto, en cambio, es determinar el lugar exacto que esas nuevas potencias ocupan dentro de la escala general de los infinitos.

La Hipótesis del Continuo

El Teorema de Cantor nos asegura que \(2^{\aleph_0}\) es una potencia estrictamente mayor que \(\aleph_0\). Pero esto abre una nueva pregunta: ¿es esta nueva potencia la inmediatamente siguiente? Dicho de otro modo: ¿existe algún conjunto infinito cuya potencia sea mayor que la de los números naturales, pero menor que la del conjunto potencia de los naturales?

Cantor pensaba que no. Esta es la célebre Hipótesis del Continuo: entre la potencia de los números naturales y la potencia de \(\mathcal{P}(\mathbb{N})\) no habría ninguna potencia intermedia. Si la hipótesis fuera cierta, entonces podríamos identificar \(2^{\aleph_0}\) con \(\aleph_1\), el siguiente cardinal transfinito después de \(\aleph_0\).

$$2^{\aleph_{0}} = \aleph_{1}$$

Existiría también la Hipótesis Generalizada del Continuo que extiende esta idea a todos los cardinales transfinitos: para cada \(\aleph_{\alpha}\)​, la potencia de su conjunto potencia sería exactamente \(\aleph_{\alpha + 1}\)​​ o lo que es lo mismo, entre un cardinal infinito \(\aleph_{\alpha}\)​ y \(2^{\aleph_{\alpha}}\)​ no hay cardinales intermedios.

Cantor fue plenamente consciente de este problema y lo consideró uno de los núcleos de su teoría. Desde 1878 intentó mostrar que no existe ninguna potencia intermedia entre la de los números naturales y la del continuo. Lo que Cantor no podía anticipar era el giro posterior del problema: que, en la teoría axiomática moderna, la Hipótesis del Continuo no quedaría decidida por los axiomas habituales de la teoría de conjuntos.

Conclusión

Puede resultar al lector que toda la teoría transfinita de Cantor tiene algo de trabajo ilusorio. Los objetos matemáticos como los números transfinitos parecen sacados de la chistera, nacidos de la prestidigitación matemática. Esta «terrible dinastía de infinitos», como los denominó Borges, se encuentra demasiado alejada de nuestra experiencia y comprensión como para tenerla en cuenta, ni siquiera para alcanzar una consideración ontológica equivalente a la de los números naturales. Su existencia no resulta tan evidente e intuitiva.

Si el lector se encuentra en esta situación, sepa que muchos matemáticos del tiempo de Cantor pensaban de la misma manera. Cantor no concebía sus transfinitos como meros artificios formales; su platonismo matemático tenía una dimensión teológica muy fuerte. Trabajó muy duro para que sus investigaciones fueran apreciadas por las grandes figuras matemáticas de la Alemania de 1890. Pero como apuntó en su día el contemporáneo Max Plank, la ciencia avanza de funeral en funeral. Bastó con que la vieja generación diese paso a una nueva para que los números transfinitos de Cantor germinasen y dieran lugar a todo un nuevo debate en la comunidad matemática. De hecho, y como pretendemos mostrar en estos artículos, su influencia posterior ha sido enorme.

Nuestro próximo artículo lo dedicaremos a asentar los números transfinitos en aspectos de la matemática más «cercanos»: la naturaleza de los números reales y el continuo.

Lecturas recomendadas

– Cantor, G. (1883). Fundamentos para una teoría general de conjuntos, en Fundamentos para una teoría general de conjuntos. Escritos y correspondencia selecta, ed. José Ferreirós, Barcelona: Crítica, 2006.

– Cantor, G. (1891). «Sobre una cuestión elemental de la teoría de variedades».

– Cantor, G. (1895/1897). «Contribuciones a la fundamentación de la teoría de los conjuntos transfinitos».

– Torretti, R. (1998). El paraíso de Cantor: la tradición conjuntista en la filosofía matemática.

– Ferreirós, J. (1999). Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics.